Cho hàm số f(x)=x/√(x^2+1). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1)f′(x)

(THPTQG – 2020 – 103 – Lần 1) Cho hàm số \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=(x+1){f}'(x) \).

A. \( \frac{{{x}^{2}}+2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C \)                            

B.  \( \frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)                  

C.  \( \frac{2{{x}^{2}}+x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)                                     

D.  \( \frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét \( \int{g(x)dx}=\int{(x+1){f}'(x)dx} \)

Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x+1 \\  & dv={f}'(x)dx \\ \end{align} \right. \)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\  & v=f(x) \\ \end{align} \right. \)

Vậy  \( \int{g(x)dx}=(x+1)f(x)-\int{f(x)dx}=\frac{(x+1)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx} \)

 \( =\frac{(x+1)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C=\frac{{{x}^{2}}+x-{{x}^{2}}-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *