Cho hàm số f(x) xác định trên R∖{1} thỏa mãn f′(x)=1x−1, f(0)=2017, f(2)=2018. Tính S=f(3)−f(−1)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Trên khoảng \(\left( 1;+\infty  \right)\) ta có \(\int{{f}'(x)dx}=\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left( x-1 \right)+{{C}_{1}}\)\(\Rightarrow f(x)=\ln (x-1)+{{C}_{1}}\)

Mà  \( f(2)=2018\Rightarrow {{C}_{1}}=2018 \)

Trên khoảng  \( \left( -\infty ;1 \right) \), ta có:  \( \int{{f}'(x)dx}=\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln (1-x)+{{C}_{2}} \) \( \Rightarrow f(x)=\ln (1-x)+{{C}_{2}} \)

Mà  \( f(0)=2017\Rightarrow {{C}_{2}}=2017 \)

Vậy  \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & \ln (x-1)+2018\text{   }khi\text{ }x>1 \\  & \ln (1-x)+2017\text{   }khi\text{ }x<1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow f(3)-f(-1)=1 \)