Cho hàm số f(x) xác định trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right] \) thỏa mãn \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2\sqrt{2}f(x)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]dx}=\frac{2-\pi }{2} \). Tích phân  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) xác định trên  \( \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right] \) thỏa mãn  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2\sqrt{2}f(x)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]dx}=\frac{2-\pi }{2} \). Tích phân  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx} \) bằng

A. \( \frac{\pi }{4} \)

B. 0             

C. 1                    

D.  \( \frac{\pi }{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2\sqrt{2}f(x)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]dx}=\frac{2-\pi }{2} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{\left( f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]dx}=\frac{2-\pi }{2} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left( f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right)}^{2}}dx}-2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)dx}=\frac{2-\pi }{2} \)

Xét  \( 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ 1-\cos \left( 2x-\frac{\pi }{2} \right) \right]dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{(1-\sin 2x)dx} \)

 \( =\left. \left( x+\frac{1}{2}\cos 2x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi -2}{2} \).

Do đó:  \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}dx-2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)dx}}=\frac{2-\pi }{2} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}dx}-\frac{\pi -2}{2}=\frac{2-\pi }{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}dx}=0 \)

Suy ra:  \( f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow f(x)=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) .

Vậy:  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)dx}=\left. -\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=0 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *