Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( {{\left[ x{f}'(x) \right]}^{2}}+1={{x}^{2}}\left[ 1-f(x).{f}”(x) \right] \) với mọi x dương. Biết \( f(1)={f}'(1)=1 \). Giá trị \( {{f}^{2}}(2) \) bằng:
A. \( {{f}^{2}}(2)=\sqrt{2\ln 2+2} \)
B. \( {{f}^{2}}(2)=2\ln 2+2 \)
C. \( {{f}^{2}}(2)=\ln 2+1 \)
D. \( {{f}^{2}}(2)=\sqrt{\ln 2+1} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có: \( {{\left[ x{f}'(x) \right]}^{2}}+1={{x}^{2}}\left[ 1-f(x).{f}”(x) \right],\text{ }x>0 \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}.{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+1={{x}^{2}}\left[ 1-f(x).{f}”(x) \right]\Leftrightarrow {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=1-f(x).{f}”(x) \)
\( \Leftrightarrow {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+f(x{)}”.f(x)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left[ f(x).{f}'(x) \right]}^{\prime }}=1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \).
Do đó: \( \int{{{\left[ f(x).{f}'(x) \right]}^{\prime }}dx}=\int{\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}\Rightarrow f(x).{f}'(x)=x+\frac{1}{x}+{{C}_{1}} \).
Vì \( f(1)={f}'(1)=1\Rightarrow 1=2+{{C}_{1}}\Leftrightarrow {{C}_{1}}=-1 \).
Nên \( \int{f(x).{f}'(x)dx}=\int{\left( x+\frac{1}{x}-1 \right)dx}\Leftrightarrow \int{f(x)d\left( f(x) \right)}=\int{\left( x+\frac{1}{x}-1 \right)dx} \)
\( \Rightarrow \frac{{{f}^{2}}(x)}{2}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x-x+{{C}_{2}} \). Vì \( f(1)=1\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-1+{{C}_{2}}\Leftrightarrow {{C}_{2}}=1 \).
Vậy: \( \frac{{{f}^{2}}(x)}{2}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x-x+1\Rightarrow {{f}^{2}}(2)=2\ln 2+2 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!