Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( {{\left[ x{f}'(x) \right]}^{2}}+1={{x}^{2}}\left[ 1-f(x).{f}”(x) \right] \) với mọi x dương. Biết \( f(1)={f}'(1)=1 \). Giá trị \( {{f}^{2}}(2) \) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( {{\left[ x{f}'(x) \right]}^{2}}+1={{x}^{2}}\left[ 1-f(x).{f}”(x) \right],\text{ }x>0 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}.{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+1={{x}^{2}}\left[ 1-f(x).{f}”(x) \right]\Leftrightarrow {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=1-f(x).{f}”(x) \)

 \( \Leftrightarrow {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+f(x{)}”.f(x)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left[ f(x).{f}'(x) \right]}^{\prime }}=1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \).

Do đó:  \( \int{{{\left[ f(x).{f}'(x) \right]}^{\prime }}dx}=\int{\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}\Rightarrow f(x).{f}'(x)=x+\frac{1}{x}+{{C}_{1}} \).

Vì  \( f(1)={f}'(1)=1\Rightarrow 1=2+{{C}_{1}}\Leftrightarrow {{C}_{1}}=-1 \).

Nên  \( \int{f(x).{f}'(x)dx}=\int{\left( x+\frac{1}{x}-1 \right)dx}\Leftrightarrow \int{f(x)d\left( f(x) \right)}=\int{\left( x+\frac{1}{x}-1 \right)dx} \)

 \( \Rightarrow \frac{{{f}^{2}}(x)}{2}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x-x+{{C}_{2}} \). Vì  \( f(1)=1\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-1+{{C}_{2}}\Leftrightarrow {{C}_{2}}=1 \).

Vậy:  \( \frac{{{f}^{2}}(x)}{2}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x-x+1\Rightarrow {{f}^{2}}(2)=2\ln 2+2 \).