Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x).{f}”(x)={{x}^{3}}-2x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f(0)={f}'(0)=1 \). Tính giá trị của \( T={{f}^{2}}(2) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Có   \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x).{f}”(x)={{x}^{3}}-2x\Leftrightarrow \left( f(x).{f}'(x) \right)’={{x}^{3}}-2x  \)

 \( \Leftrightarrow f(x).{f}'(x)=\int{({{x}^{3}}-2x)dx}=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+C  \).

Từ  \( f(0)={f}'(0)=1\Rightarrow C=1 \). Vậy  \( f(x).{f}'(x)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \).

Tiếp theo, có \(2f(x).{f}'(x)=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{\left( {{f}^{2}}(x) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\)

 \( \Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)=\int{\left( \frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2 \right)dx}=\frac{1}{10}{{x}^{5}}-\frac{2}{3}{{x}^{3}}+2x+C  \)

Từ  \( f(0)=1\Rightarrow C=1 \). Vậy  \( {{f}^{2}}(x)=\frac{1}{10}{{x}^{5}}-\frac{2}{3}{{x}^{3}}+2x+1 \).

Do đó:  \( T=\frac{43}{15} \).