Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x).{f}”(x)={{x}^{3}}-2x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f(0)={f}'(0)=1 \). Tính giá trị của \( T={{f}^{2}}(2) \).
A. \( \frac{43}{30} \)
B. \( \frac{16}{15} \)
C. \( \frac{43}{15} \)
D. \( \frac{26}{15} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Có \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x).{f}”(x)={{x}^{3}}-2x\Leftrightarrow \left( f(x).{f}'(x) \right)’={{x}^{3}}-2x \)
\( \Leftrightarrow f(x).{f}'(x)=\int{({{x}^{3}}-2x)dx}=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+C \).
Từ \( f(0)={f}'(0)=1\Rightarrow C=1 \). Vậy \( f(x).{f}'(x)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \).
Tiếp theo, có \(2f(x).{f}'(x)=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{\left( {{f}^{2}}(x) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\)
\( \Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)=\int{\left( \frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2 \right)dx}=\frac{1}{10}{{x}^{5}}-\frac{2}{3}{{x}^{3}}+2x+C \)
Từ \( f(0)=1\Rightarrow C=1 \). Vậy \( {{f}^{2}}(x)=\frac{1}{10}{{x}^{5}}-\frac{2}{3}{{x}^{3}}+2x+1 \).
Do đó: \( T=\frac{43}{15} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!