Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x).{f}”(x)={{x}^{3}}-2x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f(0)={f}'(0)=1 \). Tính giá trị của \( T={{f}^{2}}(2) \)

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x).{f}”(x)={{x}^{3}}-2x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f(0)={f}'(0)=1 \). Tính giá trị của  \( T={{f}^{2}}(2) \).

A. \( \frac{43}{30} \)

B.  \( \frac{16}{15} \)               

C.  \( \frac{43}{15} \)      

D.  \( \frac{26}{15} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Có   \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x).{f}”(x)={{x}^{3}}-2x\Leftrightarrow \left( f(x).{f}'(x) \right)’={{x}^{3}}-2x  \)

 \( \Leftrightarrow f(x).{f}'(x)=\int{({{x}^{3}}-2x)dx}=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+C  \).

Từ  \( f(0)={f}'(0)=1\Rightarrow C=1 \). Vậy  \( f(x).{f}'(x)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \).

Tiếp theo, có \(2f(x).{f}'(x)=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{\left( {{f}^{2}}(x) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\)

 \( \Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)=\int{\left( \frac{1}{2}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2 \right)dx}=\frac{1}{10}{{x}^{5}}-\frac{2}{3}{{x}^{3}}+2x+C  \)

Từ  \( f(0)=1\Rightarrow C=1 \). Vậy  \( {{f}^{2}}(x)=\frac{1}{10}{{x}^{5}}-\frac{2}{3}{{x}^{3}}+2x+1 \).

Do đó:  \( T=\frac{43}{15} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *