Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( f(x)+{f}'(x)={{e}^{-x}},\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f(0)=2 \). Tất cả các nguyên hàm của \( f(x){{e}^{2x}} \) là:
A. \( (x-2){{e}^{x}}+{{e}^{x}}+C \)
B. \( (x+2){{e}^{2x}}+{{e}^{x}}+C \)
C. \( (x-1){{e}^{x}}+C \)
D. \( (x+1){{e}^{x}}+C \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Ta có: \( f(x)+{f}'(x)={{e}^{-x}}\Rightarrow f(x){{e}^{x}}+{f}'(x){{e}^{x}}=1 \)
\(\Leftrightarrow {{\left[ f(x){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}=1\Leftrightarrow f(x){{e}^{x}}=x+{{C}_{1}}\)
Vì \(f(0)=2\Rightarrow {{C}_{1}}=2\Rightarrow f(x){{e}^{2x}}=(x+2){{e}^{x}}\)\(\Rightarrow \int{f(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(x+2){{e}^{x}}dx}\)
Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x+2 \\ & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\ & v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)
\( \Rightarrow \int{f(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(x+2){{e}^{x}}dx}=(x+2){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx} \) \( =(x+2){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x+1){{e}^{x}}+C \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!