Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x)+f′(x)=e^−x, ∀x∈R và f(0)=2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( f(x)+{f}'(x)={{e}^{-x}}\Rightarrow f(x){{e}^{x}}+{f}'(x){{e}^{x}}=1 \)

\(\Leftrightarrow {{\left[ f(x){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}=1\Leftrightarrow f(x){{e}^{x}}=x+{{C}_{1}}\)

Vì \(f(0)=2\Rightarrow {{C}_{1}}=2\Rightarrow f(x){{e}^{2x}}=(x+2){{e}^{x}}\)\(\Rightarrow \int{f(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(x+2){{e}^{x}}dx}\)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x+2 \\  & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\  & v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \int{f(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(x+2){{e}^{x}}dx}=(x+2){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx} \) \( =(x+2){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x+1){{e}^{x}}+C \)