Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( f(1)=4 \) và \( f(x)=x{f}'(x)-2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \) với mọi \( x>0 \). Giá trị của \( f(2) \) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( f(x)-x{f}'(x)=-2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{1.f(x)-x.{f}'(x)}{{{x}^{2}}}=\frac{-2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left[ \frac{f(x)}{x} \right]}^{\prime }}=2x+3 \)

Suy ra:  \( \frac{f(x)}{x} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=2x+3 \).

Ta có: \( \int{(2x+3)dx}={{x}^{2}}+3x+C,\text{ }C\in \mathbb{R} \).

Do đó:  \( \frac{f(x)}{x}={{x}^{2}}+3x+{{C}_{1}} \) (1) với  \( {{C}_{1}}\in \mathbb{R} \).

Vì \(f(1)=4\) theo giả thiết, nên thay \(x=1\) vào hai vế của (1) ta thu được \({{C}_{1}}=0\), từ đó \(f(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\).

Vậy \(f(2)=20\).