Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( f(1)=2 \) và  \( {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}{f}'(x)={{\left[ f(x) \right]}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right) \) với mọi  \( x\in \mathbb{R} \). Giá trị của  \( f(2) \) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Từ giả thiết ta có:  \( {f}'(x)={{\left[ f(x) \right]}^{2}}.\frac{{{x}^{2}}-1}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}>0 \) với mọi  \( x\in \left( 1;2 \right] \).

Do đó:  \( f(x)\ge f(1)=1>0 \) với mọi  \( x\in \left[ 1;2 \right] \).

Xét với mọi  \( x\in \left[ 1;2 \right] \), ta có:

 \( \left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'(x)={{\left[ f(x) \right]}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)\Leftrightarrow \frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}dx}=\int{\frac{{{x}^{2}}-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}dx} \).

 \( \Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}dx}=\int{\frac{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{{{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}}dx}=\int{\frac{1}{{{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}}d\left( x+\frac{1}{x} \right)}=-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}+C  \).

Mà  \( f(1)=1\Rightarrow 1=1+C\Leftrightarrow C=0 \).

Vậy  \( f(x)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\Rightarrow f(2)=\frac{5}{2} \).