Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( f(1)=2 \) và \( {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}{f}'(x)={{\left[ f(x) \right]}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right) \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \). Giá trị của \( f(2) \) bằng
A. \( \frac{2}{5} \)
B. \( -\frac{2}{5} \)
C. \( -\frac{5}{2} \)
D. \( \frac{5}{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Từ giả thiết ta có: \( {f}'(x)={{\left[ f(x) \right]}^{2}}.\frac{{{x}^{2}}-1}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}>0 \) với mọi \( x\in \left( 1;2 \right] \).
Do đó: \( f(x)\ge f(1)=1>0 \) với mọi \( x\in \left[ 1;2 \right] \).
Xét với mọi \( x\in \left[ 1;2 \right] \), ta có:
\( \left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'(x)={{\left[ f(x) \right]}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)\Leftrightarrow \frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}dx}=\int{\frac{{{x}^{2}}-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}dx} \).
\( \Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}dx}=\int{\frac{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{{{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}}dx}=\int{\frac{1}{{{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}}d\left( x+\frac{1}{x} \right)}=-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}+C \).
Mà \( f(1)=1\Rightarrow 1=1+C\Leftrightarrow C=0 \).
Vậy \( f(x)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\Rightarrow f(2)=\frac{5}{2} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!