Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \), thỏa mãn \( f(x)+\tan x.{f}'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{3}}x} \). Biết rằng  \( \sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3\) trong đó \( a,b\in\mathbb{Q}\) . Giá trị của biểu thức \(P=a+b\) bằng

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \), thỏa mãn  \( f(x)+\tan x.{f}'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{3}}x} \). Biết rằng  \( \sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3 \) trong đó  \( a,b\in \mathbb{Q} \) . Giá trị của biểu thức  \( P=a+b  \) bằng

A. \( \frac{14}{9} \)

B.  \( -\frac{2}{9} \)                    

C .  \( \frac{7}{9} \)         

D.  \( -\frac{4}{9} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

 \( f(x)+\tan x.{f}'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{3}}x}\Leftrightarrow \cos x.f(x)+\sin x.{f}'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{\left[ \sin x.f(x) \right]}^{\prime }}=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x} \).

Do đó:  \( \int{{{\left[ \sin x.f(x) \right]}^{\prime }}dx}=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx}\Rightarrow \sin x.f(x)=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx} \)

Tính  \( I=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv=\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}\Rightarrow v=\tan x \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx}=x\tan x-\int{\tan xdx}=x\tan x+\int{\frac{d(\cos x)}{\cos x}}=x\tan x+\ln \left| \cos x \right| \).

Suy ra:  \( f(x)=\frac{x\tan x+\ln \left| \cos x \right|}{\sin x}=\frac{x}{\cos x}+\frac{\ln \left| \cos x \right|}{\sin x} \).

 \( a\pi \sqrt{3}+b\ln 3=\sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\sqrt{3}\left( \frac{2\pi }{3}-\frac{2\ln 2}{\sqrt{3}} \right)-\left( \frac{\pi \sqrt{3}}{9}+2\ln \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)

 \( =\frac{5\pi \sqrt{3}}{9}-\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=\frac{5}{9} \\  & b=-1 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( P=a+b=-\frac{4}{9} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *