Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \), thỏa mãn \( f(x)+\tan x.{f}'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{3}}x} \). Biết rằng \( \sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3 \) trong đó \( a,b\in \mathbb{Q} \) . Giá trị của biểu thức \( P=a+b \) bằng
A. \( \frac{14}{9} \)
B. \( -\frac{2}{9} \)
C . \( \frac{7}{9} \)
D. \( -\frac{4}{9} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
\( f(x)+\tan x.{f}'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{3}}x}\Leftrightarrow \cos x.f(x)+\sin x.{f}'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{\left[ \sin x.f(x) \right]}^{\prime }}=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x} \).
Do đó: \( \int{{{\left[ \sin x.f(x) \right]}^{\prime }}dx}=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx}\Rightarrow \sin x.f(x)=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx} \)
Tính \( I=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx} \).
Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv=\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}\Rightarrow v=\tan x \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( I=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx}=x\tan x-\int{\tan xdx}=x\tan x+\int{\frac{d(\cos x)}{\cos x}}=x\tan x+\ln \left| \cos x \right| \).
Suy ra: \( f(x)=\frac{x\tan x+\ln \left| \cos x \right|}{\sin x}=\frac{x}{\cos x}+\frac{\ln \left| \cos x \right|}{\sin x} \).
\( a\pi \sqrt{3}+b\ln 3=\sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\sqrt{3}\left( \frac{2\pi }{3}-\frac{2\ln 2}{\sqrt{3}} \right)-\left( \frac{\pi \sqrt{3}}{9}+2\ln \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
\( =\frac{5\pi \sqrt{3}}{9}-\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=\frac{5}{9} \\ & b=-1 \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( P=a+b=-\frac{4}{9} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!