Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \), thỏa mãn \( f(x)+\tan x.{f}'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{3}}x} \). Biết rằng  \( \sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3\) trong đó \( a,b\in\mathbb{Q}\) . Giá trị của biểu thức \(P=a+b\) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

 \( f(x)+\tan x.{f}'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{3}}x}\Leftrightarrow \cos x.f(x)+\sin x.{f}'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{\left[ \sin x.f(x) \right]}^{\prime }}=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x} \).

Do đó:  \( \int{{{\left[ \sin x.f(x) \right]}^{\prime }}dx}=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx}\Rightarrow \sin x.f(x)=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx} \)

Tính  \( I=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv=\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}\Rightarrow v=\tan x \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\int{\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx}=x\tan x-\int{\tan xdx}=x\tan x+\int{\frac{d(\cos x)}{\cos x}}=x\tan x+\ln \left| \cos x \right| \).

Suy ra:  \( f(x)=\frac{x\tan x+\ln \left| \cos x \right|}{\sin x}=\frac{x}{\cos x}+\frac{\ln \left| \cos x \right|}{\sin x} \).

 \( a\pi \sqrt{3}+b\ln 3=\sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\sqrt{3}\left( \frac{2\pi }{3}-\frac{2\ln 2}{\sqrt{3}} \right)-\left( \frac{\pi \sqrt{3}}{9}+2\ln \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)

 \( =\frac{5\pi \sqrt{3}}{9}-\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=\frac{5}{9} \\  & b=-1 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( P=a+b=-\frac{4}{9} \).