Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \), \( f(x)\ne 0 \) với mọi x và thỏa mãn \( f(1)=-\frac{1}{2},{f}'(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x) \). Biết \( f(1)+f(2)+…+f(2019)=\frac{a}{b}-1\) với \( a,b\in \mathbb{N},\text{ }(a,b)=1 \)

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \),  \( f(x)\ne 0 \) với mọi x và thỏa mãn  \( f(1)=-\frac{1}{2},{f}'(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x) \). Biết  \( f(1)+f(2)+…+f(2019)=\frac{a}{b}-1\) với  \( a,b\in \mathbb{N},\text{ }(a,b)=1 \) . Khẳng định nào sau đây sai?

A. \( a-b=2019 \)

B.  \( ab>2019 \)              

C.  \( 2a+b=2022 \)        

D.  \( b\le 2020 \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

\({f}'(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x)\Leftrightarrow \frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=2x+1\Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}dx}=\int{(2x+1)dx}\)

\(\Rightarrow \int{\frac{d\left( {f}'(x) \right)}{{{f}^{2}}(x)}}=\int{(2x+1)dx}\Rightarrow -\frac{1}{f(x)}={{x}^{2}}+x+C\)   (1) (Với C là hằng số thực).

Thay  \( x=1 \) vào (1) được:  \( 2+C=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}\Leftrightarrow C=0 \).

Vậy  \( f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x} \).

Do đó: \(T=f(1)+f(2)+…+f(2019)=\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{1} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \right)+…+\left( \frac{1}{2020}-\frac{1}{2019} \right)=-1+\frac{1}{2020}\).

Suy ra:  \( \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=2020 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a-b=-2019 \). (Chọn đáp án sai)

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *