Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \( \left[ 0;1 \right] \) thỏa mãn điều kiện \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{3}{2} \). Hỏi giá trị nhỏ nhất của \( \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx} \) bằng bao nhiêu?
A. \( \frac{27}{4} \)
B. \( \frac{34}{5} \)
C. 7
D. 8
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta tìm hàm \( ax+b \) thỏa mãn \( \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x)-(ax+b) \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow f(x)=ax+b \).
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \\ & \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left. \left( \frac{a}{2}{{x}^{2}}+bx \right) \right|_{0}^{1}=2 \\ & \left. \left( \frac{a}{3}{{x}^{3}}+\frac{b}{2}{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{a}{2}+b=2 \\ & \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=6 \\ & b=-1 \\ \end{align} \right.\).
Suy ra: \( \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x)-(6x-1) \right]}^{2}}dx}\ge 0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx}-2\int\limits_{0}^{1}{f(x)(6x-1)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}\ge 0 \)
\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx}\ge 2\int\limits_{0}^{1}{f(x)(6x-1)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}=12\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}-2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}=7\).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!