Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \( \left[ 0;1 \right] \) thỏa mãn điều kiện \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{3}{2} \). Hỏi giá trị nhỏ nhất của \( \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx} \) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta tìm hàm  \( ax+b  \) thỏa mãn  \( \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x)-(ax+b) \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow f(x)=ax+b  \).

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \\  & \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left. \left( \frac{a}{2}{{x}^{2}}+bx \right) \right|_{0}^{1}=2 \\  & \left. \left( \frac{a}{3}{{x}^{3}}+\frac{b}{2}{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \frac{a}{2}+b=2 \\  & \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=6 \\  & b=-1 \\ \end{align} \right.\).

Suy ra:  \( \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x)-(6x-1) \right]}^{2}}dx}\ge 0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx}-2\int\limits_{0}^{1}{f(x)(6x-1)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}\ge 0 \)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx}\ge 2\int\limits_{0}^{1}{f(x)(6x-1)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}=12\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}-2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}=7\).