Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \( \left[ 0;1 \right] \) thỏa mãn điều kiện \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{3}{2} \). Hỏi giá trị nhỏ nhất của \( \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx} \) bằng bao nhiêu?

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \( \left[ 0;1 \right] \) thỏa mãn điều kiện  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \) và  \( \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{3}{2} \). Hỏi giá trị nhỏ nhất của  \( \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx} \) bằng bao nhiêu?

A. \( \frac{27}{4} \)

B.  \( \frac{34}{5} \)                 

C. 7                                  

D. 8

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta tìm hàm  \( ax+b  \) thỏa mãn  \( \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x)-(ax+b) \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow f(x)=ax+b  \).

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \\  & \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left. \left( \frac{a}{2}{{x}^{2}}+bx \right) \right|_{0}^{1}=2 \\  & \left. \left( \frac{a}{3}{{x}^{3}}+\frac{b}{2}{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \frac{a}{2}+b=2 \\  & \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=6 \\  & b=-1 \\ \end{align} \right.\).

Suy ra:  \( \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x)-(6x-1) \right]}^{2}}dx}\ge 0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx}-2\int\limits_{0}^{1}{f(x)(6x-1)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}\ge 0 \)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx}\ge 2\int\limits_{0}^{1}{f(x)(6x-1)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}=12\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}-2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}=7\).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *