Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \). Đồ thị của hàm số \( y=f(5-2x) \) như hình vẽ bên dưới:
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc khoảng \( (-9;9) \) thỏa mãn \( 2m\in \mathbb{Z} \) và hàm số \( y=\left| 2f(4{{x}^{3}}+1)+m-\frac{1}{2} \right| \) có 5 điểm cực trị?
A. 26.
B. 25.
C. 27.
D. 24.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Đặt \( t=5-2x\Rightarrow x=\frac{5-t}{2} \).
Bảng biến thiên của hàm số \( f(t) \):
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \( y=f(t) \) có 3 điểm cực trị.
Đặt \( g(x)=f(4{{x}^{3}}+1)\Rightarrow {g}'(x)=12{{x}^{2}}{f}'(4{{x}^{3}}+1) \).
Cho \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=0 \\ & {f}'(4{{x}^{3}}+1)=0\begin{matrix} {} & (*) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \) (có 3 nghiệm đơn)
\( \Rightarrow \) Hàm số \( y=f(4{{x}^{3}}+1) \) có 3 điểm cực trị.
Hàm số \( y=\left| 2f(4{{x}^{3}}+1)+m-\frac{1}{2} \right| \) có 5 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Hàm số \( \frac{y}{2}=\left| f(4{{x}^{3}}+1)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4} \right| \) có 5 điểm cực trị
\( \Leftrightarrow \) Phương trình \( f(4{{x}^{3}}+1)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 \) (1) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.
Đặt \( t=4{{x}^{3}}+1\Rightarrow {t}’=12{{x}^{2}} \). Suy ra t là hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \). Ứng với mỗi giá trị của t ta có một giá trị của x.
Số nghiệm của phương trình bằng số nghiệm của phương trình \( f(t)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 \).
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \( f(t)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 \) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khi và chỉ khi
\( \left[ \begin{align} & \frac{1}{4}-\frac{m}{2}\ge \frac{9}{4} \\ & -4<\frac{1}{4}-\frac{m}{2}\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m\le -4 \\ & \frac{1}{2}\le m\le \frac{17}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2m\le -8 \\ & 1\le 2m<17 \\ \end{align} \right. \).
Kết hợp yêu cầu \( m\in (-9;9) \) và \( 2m\in \mathbb{Z} \) ta có 26 giá trị thực của m thỏa đề bài.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!