Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y=f(5−2x) như hình vẽ bên dưới

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( t=5-2x\Rightarrow x=\frac{5-t}{2} \).

Bảng biến thiên của hàm số  \( f(t) \):

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số  \( y=f(t) \) có 3 điểm cực trị.

Đặt  \( g(x)=f(4{{x}^{3}}+1)\Rightarrow {g}'(x)=12{{x}^{2}}{f}'(4{{x}^{3}}+1) \).

Cho  \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=0 \\  & {f}'(4{{x}^{3}}+1)=0\begin{matrix}   {} & (*)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \) (có 3 nghiệm đơn)

 \( \Rightarrow \)  Hàm số  \( y=f(4{{x}^{3}}+1) \) có 3 điểm cực trị.

Hàm số  \( y=\left| 2f(4{{x}^{3}}+1)+m-\frac{1}{2} \right| \) có 5 điểm cực trị  \( \Leftrightarrow \)  Hàm số  \( \frac{y}{2}=\left| f(4{{x}^{3}}+1)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4} \right| \) có 5 điểm cực trị

 \( \Leftrightarrow \)  Phương trình  \( f(4{{x}^{3}}+1)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 \)  (1) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.

Đặt  \( t=4{{x}^{3}}+1\Rightarrow {t}’=12{{x}^{2}} \). Suy ra t là hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \). Ứng với mỗi giá trị của t ta có một giá trị của x.

Số nghiệm của phương trình bằng số nghiệm của phương trình  \( f(t)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 \).

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình  \( f(t)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 \) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khi và chỉ khi

 \( \left[ \begin{align} & \frac{1}{4}-\frac{m}{2}\ge \frac{9}{4} \\  & -4<\frac{1}{4}-\frac{m}{2}\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m\le -4 \\  & \frac{1}{2}\le m\le \frac{17}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2m\le -8 \\  & 1\le 2m<17 \\ \end{align} \right. \).

Kết hợp yêu cầu  \( m\in (-9;9) \) và  \( 2m\in \mathbb{Z} \) ta có 26 giá trị thực của m thỏa đề bài.