Cho hàm số f(x) có đạo hàm f′(x)=x^2(x+2)4(x+4)^3[x^2+2(m+3)x+6m+18]. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị

Cho hàm số f(x) có đạo hàm \({f}'(x)={{x}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{4}}{{\left( x+4 \right)}^{3}}\left[ {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18 \right] \). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị?

A. 7

B. 5

C. 8                                   

D. 6

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}=0 \\  & {{\left( x+2 \right)}^{4}}=0 \\  & {{\left( x+4 \right)}^{3}}=0 \\  & {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-2 \\  & x=-4 \\ & {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18=0\text{  }(*) \\ \end{align} \right. \)

Để hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị  \( \Leftrightarrow  \) Phương trình (*) vô nghiệm, có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là  \( -4 \)

Trường hợp 1: Phương trình (*) vô  \( nghiệm \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}+24m+36-24m-72=4{{m}^{2}}-36<0 \)

 \( \Leftrightarrow -3<m<3\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\} \)

Trường hợp 2: Phương trình (*) có nghiệm kép  \( \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}-36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3 \\  & m=-3 \\ \end{align} \right. \)

Trường hợp 3: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Trong đó  \( {{x}_{1}}=-4 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2  \( \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}-36>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-3 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \)

Theo định lí Viet, ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-4+{{x}_{2}}=-2m-6 \\  & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4.{{x}_{2}}=6m+18 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{2}}=-2m-2 \\ & {{x}_{2}}=-\frac{3}{2}m-\frac{9}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -2m-2=-\frac{3}{2}m-\frac{9}{2}\Leftrightarrow m=5 \)

Vậy  \( m\in \left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3;5 \right\} \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *