Cho hàm số f(x) có đạo hàm f′(x)=x^2(x+2)4(x+4)^3[x^2+2(m+3)x+6m+18]. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}=0 \\  & {{\left( x+2 \right)}^{4}}=0 \\  & {{\left( x+4 \right)}^{3}}=0 \\  & {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-2 \\  & x=-4 \\ & {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18=0\text{  }(*) \\ \end{align} \right. \)

Để hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị  \( \Leftrightarrow  \) Phương trình (*) vô nghiệm, có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là  \( -4 \)

Trường hợp 1: Phương trình (*) vô  \( nghiệm \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}+24m+36-24m-72=4{{m}^{2}}-36<0 \)

 \( \Leftrightarrow -3<m<3\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\} \)

Trường hợp 2: Phương trình (*) có nghiệm kép  \( \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}-36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3 \\  & m=-3 \\ \end{align} \right. \)

Trường hợp 3: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂. Trong đó  \( {{x}_{1}}=-4 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂  \( \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}-36>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-3 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \)

Theo định lí Viet, ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-4+{{x}_{2}}=-2m-6 \\  & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4.{{x}_{2}}=6m+18 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{2}}=-2m-2 \\ & {{x}_{2}}=-\frac{3}{2}m-\frac{9}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -2m-2=-\frac{3}{2}m-\frac{9}{2}\Leftrightarrow m=5 \)

Vậy  \( m\in \left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3;5 \right\} \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.