Cho hàm số f(x) có đạo hàm \({f}'(x)={{x}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{4}}{{\left( x+4 \right)}^{3}}\left[ {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18 \right] \). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị?
A. 7
B. 5
C. 8
D. 6
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta có: \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}=0 \\ & {{\left( x+2 \right)}^{4}}=0 \\ & {{\left( x+4 \right)}^{3}}=0 \\ & {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-2 \\ & x=-4 \\ & {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18=0\text{ }(*) \\ \end{align} \right. \)
Để hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình (*) vô nghiệm, có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là \( -4 \)
Trường hợp 1: Phương trình (*) vô \( nghiệm \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}+24m+36-24m-72=4{{m}^{2}}-36<0 \)
\( \Leftrightarrow -3<m<3\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\} \)
Trường hợp 2: Phương trình (*) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}-36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=3 \\ & m=-3 \\ \end{align} \right. \)
Trường hợp 3: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Trong đó \( {{x}_{1}}=-4 \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 \( \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}-36>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-3 \\ & m>3 \\ \end{align} \right. \)
Theo định lí Viet, ta có: \( \left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-4+{{x}_{2}}=-2m-6 \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4.{{x}_{2}}=6m+18 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{2}}=-2m-2 \\ & {{x}_{2}}=-\frac{3}{2}m-\frac{9}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -2m-2=-\frac{3}{2}m-\frac{9}{2}\Leftrightarrow m=5 \)
Vậy \( m\in \left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3;5 \right\} \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!