Cho hàm số f(x) có đạo hàm f′(x)=(x+1)^2(x^2−4x). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x)=f(2x^2−12x+m) có đúng 5 điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có  \( g(x)=f(2{{x}^{2}}-12x+m)\Rightarrow {g}'(x)=(4x-12)\cdot {f}'(2{{x}^{2}}-12x+m) \).

Suy ra  \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow (4x-12)\cdot {f}'(2{{x}^{2}}-12x+m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=3 \\  & {f}'(2{{x}^{2}}-12x+m)=0 \\ \end{align} \right. \)

\(\left[ \begin{align}  & x=3 \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m=0 \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m=4 \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m=-1 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=3 \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m=0\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m-4=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m+1=0\begin{matrix}   {} & (3)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\).

Vì phương trình (3) có nghiệm kép nên ta chỉ xét 2 phương trình (1) và (2).

Nhận xét: Phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung.

Yêu cầu bài toán suy ra phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 3.

 \( \left\{ \begin{align} & {{{{\Delta }’}}_{(1)}}>0 \\  & {{2.3}^{2}}-12.3+m\ne 0 \\  & {{{{\Delta }’}}_{(2)}}>0 \\  & {{2.3}^{2}}-12.3+m-4\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 36-2m>0 \\  & m\ne 18 \\  & 36-2(m-4)>0 \\  & m\ne 22 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<18 \\  & m\ne 18 \\  & m<22 \\  & m\ne 22 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<18 \).

Vì m nguyên dương nên  \( m\in \{1;2;3;…;17\} \).