Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị (C1) và y=f′(x) có đồ thị (C2) như hình vẽ dưới

Hướng dẫn giải:

Chọn D

\({g}'(x)=\left[ -{{e}^{-x}}f(x)+{{e}^{-x}}{f}'(x) \right].{f}’\left[ {{e}^{-x}}f(x) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & -f(x)+{f}'(x)=0 \\  & {{e}^{-x}}f(x)=-2 \\  & {{e}^{-x}}f(x)=0 \\ & {{e}^{-x}}f(x)=2 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & f(x)={f}'(x) \\  & f(x)=0 \\  & f(x)=-2{{e}^{x}} \\  & f(x)=2{{e}^{x}} \\ \end{align} \right.\).

+  \( f(x)={f}'(x) \) có bốn nghiệm đơn trong đó 3 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3 (có một nghiệm  \( x=0 \)) và một nghiệm lớn 3.

+  \( f(x)=0 \) có hai nghiệm đơn phân biệt và một nghiệm bội chẵn x=0.

+  \( f(x)=2{{e}^{x}} \) có một nghiệm đơn.

+  \( f(x)=-2{{e}^{x}} \) có hai nghiệm đơn phân biệt.

Như vậy, trên khoảng  \( (-\infty ;3) \) có đạo hàm  \( {g}'(x) \) đổi dấu qua 8 điểm nên số điểm cực đại và cực tiểu bằng nhau và bằng 4.