Cho hàm số bậc ba y=f(x) có f′(1)=3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m và m∈[−10;10] để

Cho hàm số bậc ba \( y=f(x) \) có  \( {f}'(1)=3 \) và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m và  \( m\in [-10;10] \) để phương trình  \( \ln \frac{f(x)}{3m{{x}^{2}}}+x[f(x)-3mx]=3m{{x}^{3}}-f(x) \) có hai nghiệm dương phân biệt?


A. 18.

B. 9.

C. 10.                               

D. 15.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Do yêu cầu bài toán là phương trình có hai nghiệm dương phân biệt nên ta chỉ xét  \( x>0 \). Giả sử  \( f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \). Vì đồ thị đi qua các điểm  \( A\left( -\frac{5}{4};\frac{131}{64} \right),\text{ }B(0;4),\text{ }C(1;5) \) nên ta có:

 \( \left\{ \begin{align} & -\frac{125}{64}a+\frac{25}{16}b-\frac{5}{4}c+d=\frac{131}{64} \\  & d=4 \\  & a+b+c+d=5 \\ \end{align} \right. \)    (1)

Ta có  \( {f}'(1)=3\Leftrightarrow 3a+2b+c=3 \)  (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=0 \\  & c=0 \\  & d=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow f(x)={{x}^{3}}+4 \).

Điều kiện:  \( \frac{f(x)}{3m{{x}^{2}}}>0\Rightarrow m>0 \).

 \( \ln \frac{f(x)}{3m{{x}^{2}}}+x[f(x)-3mx]=3m{{x}^{3}}-f(x) \)

 \( \Leftrightarrow \ln f(x)-\ln (3m{{x}^{2}})+x\left[ f(x-3m{{x}^{2}}) \right]+f(x)-3m{{x}^{2}}=0 \)

Nếu  \( f(x)>m{{x}^{2}} \) thì  \( \log f(x)>\log (m{{x}^{2}}) \) và  \( xf(x)>x(m{{x}^{2}}),\forall x>0\Rightarrow (3) \) vô nghiệm.

Tương tự nếu  \( f(x)<m{{x}^{2}} \) thì phương trình (3) vô nghiệm.

Do đó  \( f(x)=3m{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}+4=3m{{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{x}^{3}}+4}{3{{x}^{2}}}=m \), vì  \( x>0 \).

Xét hàm số  \( g(x)=\frac{{{x}^{3}}+4}{3{{x}^{2}}} \) với  \( x>0 \).

 \( {g}'(x)=\frac{3{{x}^{4}}-24x}{9{{x}^{4}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\text{ }(\ell ) \\ & x=2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Ta có bảng biến thiên:

Để phương trình  \( \frac{{{x}^{3}}+4}{3{{x}^{2}}}=m \) có hai nghiệm dương phân biệt thì  \( m>1 \).

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( m\in [-10;10] \) nên  \( m\in \{2;3;…;10\} \).

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *