Cho hàm số bậc ba f(x) và hàm số g(x)=f(x+1) thỏa mãn (x−1)g′(x+3)=(x+1)g′(x+2),∀x∈R. Số điểm cực trị của hàm số y=f(2×2−4x+5) là

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Cho  \( g(x)=f(x+1)\Rightarrow {g}'(x)={f}'(x+1)\Rightarrow {g}'(x+3)={f}'(x+4);\text{ }{g}'(x+2)={f}'(x+3) \).

Thay vào giả thiết đã cho có:

 \( (x-1){g}'(x+3)=(x+1){g}'(x+2)\Leftrightarrow (x-1){f}'(x+4)=(x+1){f}'(x+3) \)   (*).

Thay  \( x=-1 \) vào hai vế của (*) có  \( {f}'(3)=0 \); thay  \( x=1 \) vào hai vế của (*) có {f}'(4)=0.

Do đó  \( {f}'(x) \) là đa thức bậc hai có 2 nghiệm  \( {{x}_{1}}=3;\text{ }{{x}_{2}}=4 \) nên  \( {f}'(x)=a(x-3)(x-4) \).

Khi đó hàm số  \( y=f(2{{x}^{2}}-4x+5) \) có đạo hàm

 \( {y}’=(4x-4){f}'(2{{x}^{2}}-4x+5)=4a(x-1)(2{{x}^{2}}-4x+5-3)(2{{x}^{2}}-4x+5-4) \)

 \( =8a{{(x-1)}^{3}}(2{{x}^{2}}-4x+1) \) đổi dấu 3 lần nên hàm số có 3 điểm cực trị.