Cho hàm đa thức \( y={{\left[ f({{x}^{2}}+2x) \right]}^{\prime }} \) có đồ thị cắt trục Ox tại 5 điểm phân biệt như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m với \( 2022m\in \mathbb{Z} \) để hàm số \( g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right) \) có 9 điểm cực trị?
A. 2020.
B. 2023.
C. 2021.
D. 2022.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: \( {{\left[ f({{x}^{2}}+2x) \right]}^{\prime }}=(2x+2){f}'({{x}^{2}}+2x)=a(x+3)(x+2)(x+1).x.(x-1)\text{ }(a>0) \).
\( \Rightarrow {f}'({{x}^{2}}+2x)=\frac{a}{2}(x+3)(x+2)x(x-1)=\frac{a}{2}({{x}^{2}}+2x-3)({{x}^{2}}+2x) \).
Đặt \(t={{x}^{2}}+2x\Rightarrow {f}'(t)=\frac{a}{2}(t-3)t\).
Ta có \( g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right)=f\left( {{\left| x-1 \right|}^{2}}-2\left| x-1 \right|+m-1 \right) \).
Ta thấy \( g(2-x)=g(x),\forall x\in \mathbb{R} \) nên đồ thị hàm số \( y=g(x) \) nhận đường thẳng \( x=1 \) làm trục đối xứng. Do đó, số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng \( 2a+1 \) với a là số điểm cực trị lớn hơn 1 của hàm số g(x). Theo bài ra ta có \( 2a+1=9\Leftrightarrow a=4 \). Vì vậy ta cần tìm m để hàm số g(x) có đúng 4 điểm cực trị lớn hơn 1.
Khi \( x>1 \) thì \( g(x)=f({{x}^{2}}-4x+m+2) \).
\({g}'(x)=(2x-4){f}'({{x}^{2}}-4x+m+2),\text{ }{g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & {{x}^{2}}-4x+m+2=0\begin{matrix} {} & (1 \\\end{matrix}) \\ & {{x}^{2}}-4x+m+2=3\begin{matrix} {} & (2 \\\end{matrix}) \\ \end{align} \right.\).
Đặt \( u(x)={{x}^{2}}-4x+m+2 \), ta có bảng biến thiên:
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để 2 phương trình (1), (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt khác 2, điều này xảy ra khi và chỉ khi \( m-2<0<m-1\Leftrightarrow 1<m<2 \).
Suy ra \( 2022<2022m<4044\Rightarrow 2022m\in \{2023;2024;…;4043\} \), do đó có 2021 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!