Cho hàm đa thức \( y={{\left[ f({{x}^{2}}+2x) \right]}^{\prime }} \) có đồ thị cắt trục Ox tại 5 điểm phân biệt như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m với \( 2022m\in \mathbb{Z} \) để hàm số \( g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right) \) có 9 điểm cực trị?
A. 2020.
B. 2023.
C. 2021.
D. 2022.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: \( {{\left[ f({{x}^{2}}+2x) \right]}^{\prime }}=(2x+2){f}'({{x}^{2}}+2x)=a(x+3)(x+2)(x+1).x.(x-1)\text{ }(a>0) \).
\( \Rightarrow {f}'({{x}^{2}}+2x)=\frac{a}{2}(x+3)(x+2)x(x-1)=\frac{a}{2}({{x}^{2}}+2x-3)({{x}^{2}}+2x) \).
Đặt \(t={{x}^{2}}+2x\Rightarrow {f}'(t)=\frac{a}{2}(t-3)t\).
Ta có \( g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right)=f\left( {{\left| x-1 \right|}^{2}}-2\left| x-1 \right|+m-1 \right) \).
Ta thấy \( g(2-x)=g(x),\forall x\in \mathbb{R} \) nên đồ thị hàm số \( y=g(x) \) nhận đường thẳng \( x=1 \) làm trục đối xứng. Do đó, số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng \( 2a+1 \) với a là số điểm cực trị lớn hơn 1 của hàm số g(x). Theo bài ra ta có \( 2a+1=9\Leftrightarrow a=4 \). Vì vậy ta cần tìm m để hàm số g(x) có đúng 4 điểm cực trị lớn hơn 1.
Khi \( x>1 \) thì \( g(x)=f({{x}^{2}}-4x+m+2) \).
\({g}'(x)=(2x-4){f}'({{x}^{2}}-4x+m+2),\text{ }{g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & {{x}^{2}}-4x+m+2=0\begin{matrix} {} & (1 \\\end{matrix}) \\ & {{x}^{2}}-4x+m+2=3\begin{matrix} {} & (2 \\\end{matrix}) \\ \end{align} \right.\).
Đặt \( u(x)={{x}^{2}}-4x+m+2 \), ta có bảng biến thiên:
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để 2 phương trình (1), (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt khác 2, điều này xảy ra khi và chỉ khi \( m-2<0<m-1\Leftrightarrow 1<m<2 \).
Suy ra \( 2022<2022m<4044\Rightarrow 2022m\in \{2023;2024;…;4043\} \), do đó có 2021 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!