Cho hàm đa thức y=[f(x2+2x)]′ có đồ thị cắt trục Ox tại 5 điểm phân biệt như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m với 2022m∈Z để hàm số g(x)=f(x^2−2|x−1|−2x+m) có 9 điểm cực trị

Cho hàm đa thức \( y={{\left[ f({{x}^{2}}+2x) \right]}^{\prime }} \) có đồ thị cắt trục Ox tại 5 điểm phân biệt như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m với  \( 2022m\in \mathbb{Z} \) để hàm số  \( g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right) \) có 9 điểm cực trị?

A. 2020.

B. 2023.

C. 2021.                           

D. 2022.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có:  \( {{\left[ f({{x}^{2}}+2x) \right]}^{\prime }}=(2x+2){f}'({{x}^{2}}+2x)=a(x+3)(x+2)(x+1).x.(x-1)\text{ }(a>0) \).

 \( \Rightarrow {f}'({{x}^{2}}+2x)=\frac{a}{2}(x+3)(x+2)x(x-1)=\frac{a}{2}({{x}^{2}}+2x-3)({{x}^{2}}+2x) \).

Đặt \(t={{x}^{2}}+2x\Rightarrow {f}'(t)=\frac{a}{2}(t-3)t\).

Ta có  \( g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right)=f\left( {{\left| x-1 \right|}^{2}}-2\left| x-1 \right|+m-1 \right) \).

Ta thấy  \( g(2-x)=g(x),\forall x\in \mathbb{R} \) nên đồ thị hàm số  \( y=g(x) \) nhận đường thẳng  \( x=1 \) làm trục đối xứng. Do đó, số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng  \( 2a+1 \) với a là số điểm cực trị lớn hơn 1 của hàm số g(x). Theo bài ra ta có  \( 2a+1=9\Leftrightarrow a=4 \). Vì vậy ta cần tìm m để hàm số g(x) có đúng 4 điểm cực trị lớn hơn 1.

Khi  \( x>1 \) thì  \( g(x)=f({{x}^{2}}-4x+m+2) \).

\({g}'(x)=(2x-4){f}'({{x}^{2}}-4x+m+2),\text{ }{g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\  & {{x}^{2}}-4x+m+2=0\begin{matrix}  {} & (1  \\\end{matrix}) \\  & {{x}^{2}}-4x+m+2=3\begin{matrix}   {} & (2  \\\end{matrix}) \\ \end{align} \right.\).

Đặt  \( u(x)={{x}^{2}}-4x+m+2 \), ta có bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để 2 phương trình (1), (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt khác 2, điều này xảy ra khi và chỉ khi  \( m-2<0<m-1\Leftrightarrow 1<m<2 \).

Suy ra  \( 2022<2022m<4044\Rightarrow 2022m\in \{2023;2024;…;4043\} \), do đó có 2021 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *