Cho hai số thực \( a>1,\,\,b>1 \). Gọi \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) là hai nghiệm của phương trình \( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1 \). Trong trường hợp biểu thức \( S={{\left( \frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}} \) đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \( a\ge b \).
B. \( a.b=4 \).
C. \( a.b=2 \).
D. \( a<b \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: \( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{a}}b-1=0 \). Nhận thấy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
Theo định lí Viet, ta có: \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a;\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \).
Khi đó: \( S={{\left( \frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=\log _{a}^{2}b+\frac{4}{{{\log }_{a}}b} \).
Đặt \( {{\log }_{a}}b=t,\,\,t>0 \) (Vì \( a>1,\,\,b>1 \)), khi đó:
\( S={{t}^{2}}+\frac{4}{t};\,\,{S}’=2t-\frac{4}{{{t}^{2}}}=\frac{2{{t}^{3}}-4}{{{t}^{2}}};\,\,{S}’=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{2} \).
Suy ra biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất tại \( t=\sqrt[3]{2} \) hay \( {{\log }_{a}}b=\sqrt[3]{2}>1\Rightarrow a<b \)
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ Chủ nhật; thời lượng 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!