Cho hai số thực a>1,b>1. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình a^x.b^x^2−1=1. Trong trường hợp biểu thức S=(x1.x2/x1+x2)2−4×1−4×2 đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng

Cho hai số thực \( a>1,\,\,b>1 \). Gọi  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) là hai nghiệm của phương trình  \( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1 \). Trong trường hợp biểu thức  \( S={{\left( \frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}} \) đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \( a\ge b \).

B.  \( a.b=4 \).                  

C.  \( a.b=2 \). 

D.  \( a<b \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{a}}b-1=0 \). Nhận thấy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Theo định lí Viet, ta có:  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a;\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \).

Khi đó:  \( S={{\left( \frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=\log _{a}^{2}b+\frac{4}{{{\log }_{a}}b} \).

Đặt  \( {{\log }_{a}}b=t,\,\,t>0 \) (Vì  \( a>1,\,\,b>1 \)), khi đó:

 \( S={{t}^{2}}+\frac{4}{t};\,\,{S}’=2t-\frac{4}{{{t}^{2}}}=\frac{2{{t}^{3}}-4}{{{t}^{2}}};\,\,{S}’=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{2} \).

Suy ra biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất tại \( t=\sqrt[3]{2} \) hay \( {{\log }_{a}}b=\sqrt[3]{2}>1\Rightarrow a<b \)

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *