Cho hai số thực a>1,b>1. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình a^x.b^x^2−1=1. Trong trường hợp biểu thức S=(x1.x2/x1+x2)2−4×1−4×2 đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng

Cho hai số thực \( a>1,\,\,b>1 \). Gọi  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) là hai nghiệm của phương trình  \( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1 \). Trong trường hợp biểu thức  \( S={{\left( \frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}} \) đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \( a\ge b \).

B.  \( a.b=4 \).                  

C.  \( a.b=2 \). 

D.  \( a<b \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{a}}b-1=0 \). Nhận thấy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Theo định lí Viet, ta có:  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a;\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \).

Khi đó:  \( S={{\left( \frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=\log _{a}^{2}b+\frac{4}{{{\log }_{a}}b} \).

Đặt  \( {{\log }_{a}}b=t,\,\,t>0 \) (Vì  \( a>1,\,\,b>1 \)), khi đó:

 \( S={{t}^{2}}+\frac{4}{t};\,\,{S}’=2t-\frac{4}{{{t}^{2}}}=\frac{2{{t}^{3}}-4}{{{t}^{2}}};\,\,{S}’=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{2} \).

Suy ra biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất tại \( t=\sqrt[3]{2} \) hay \( {{\log }_{a}}b=\sqrt[3]{2}>1\Rightarrow a<b \)

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *