Cho hai số phức \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) thỏa mãn \( \left| \frac{{{z}_{1}}-i}{{{z}_{1}}+2-3i} \right|=1;\text{ }\left| \frac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2} \). Giá trị nhỏ nhất của \( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| \) là

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Giả sử \({{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i\) với \({{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R}\).

Khi đó:  \( \left| \frac{{{z}_{1}}-i}{{{z}_{1}}+2-3i} \right|=1\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-i \right|=\left| {{z}_{1}}+2-3i \right|\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}+({{y}_{1}}-1)i \right|=\left| ({{x}_{1}}+2)+({{y}_{1}}-3)i \right| \)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x_{1}^{2}+{{({{y}_{1}}-1)}^{2}}}=\sqrt{{{({{x}_{1}}+2)}^{2}}+{{({{y}_{1}}-3)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}-{{y}_{1}}+3=0\)

 \( \Rightarrow  \) Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z₁ là đường thẳng  \( \Delta :x-y+3=0 \).

Giả sử  \( {{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i  \), với  \( {{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \).

Ta có:  \( \left| \frac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+i \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-1+i \right|\Leftrightarrow \left| {{x}_{2}}+({{y}_{2}}+1)i \right|=\sqrt{2}\left| ({{x}_{2}}-1)+({{y}_{2}}+1)i \right| \)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x_{2}^{2}+{{({{y}_{2}}+1)}^{2}}}=\sqrt{2}\sqrt{{{({{x}_{2}}-1)}^{2}}+{{({{y}_{2}}+1)}^{2}}}\Leftrightarrow x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-4{{x}_{2}}+2{{y}_{2}}+3=0\)

 \( \Rightarrow  \) Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức  \( {{z}_{2}} \) là đường tròn  \( (C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y+3=0 \) có tâm I(2;-1) và bán kính  \( R=\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}-3}=\sqrt{2} \).

Khoảng cách từ I đến  \( \Delta  \) là:  \( {{d}_{\left( I,\Delta  \right)}}=\frac{\left| 2-(-1)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=3\sqrt{2}>R  \)

 \( \Rightarrow \) Đường thẳng  \( \Delta  \) và đường tròn (C) không có điểm chung.

Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức  \( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \) là đoạn thẳng MN.

 \( \Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow M{{N}_{\min }} \)

Dễ thấy  \( M{{N}_{\min }}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2} \).