Cho hai số phức \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) thỏa mãn \( \left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2} \) và \( \left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right| \).
A. \( \sqrt{2}-1 \)
B. \( \sqrt{2}+1 \)
C. \( 2\sqrt{2}+1 \)
D. \( 2\sqrt{2}-1 \)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z1 và A(-2;1), B(4;7) lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức \( -2+i,\text{ }4+7i \).
Ta có \( AB=6\sqrt{2} \). Phương trình đường thẳng AB là \( d:x-y+3=0 \).
+ \( \left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=AB \).
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z1 là đoạn thẳng AB.
+ \( \left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|\left| i \right|=1\Leftrightarrow \left| -{{z}_{2}}-2-i \right|=1 \).
Gọi N là điểm biểu diễn số phức \( -{{z}_{2}} \) và I(2;1) là điểm biểu diễn số phức \( 2+I \).
Ta có \( IN=1 \). Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \( -{{z}_{2}} \) là đường tròn (C) có phương trình: \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=1 \).
\( d\left( I,AB \right)=2\sqrt{2}>1 \), suy ra AB không cắt đường tròn.
Gọi K là hình chiếu của I(2;1) lên AB. Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB.
Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn (C).
Ta có \( \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=MN\ge KH=d\left( I,AB \right)-R=2\sqrt{2}-1 \).
Suy ra \( \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}-1 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!