Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn |z1+2−i|+|z1−4−7i|=6√2 và |iz^2−1+2i|=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=|z1+z2|

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z₁ và A(-2;1), B(4;7) lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức  \( -2+i,\text{ }4+7i \).

Ta có  \( AB=6\sqrt{2} \). Phương trình đường thẳng AB là  \( d:x-y+3=0 \).

+  \( \left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=AB \).

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z₁ là đoạn thẳng AB.

+  \( \left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|\left| i \right|=1\Leftrightarrow \left| -{{z}_{2}}-2-i \right|=1 \).

Gọi N là điểm biểu diễn số phức  \( -{{z}_{2}} \) và I(2;1) là điểm biểu diễn số phức  \( 2+I \).

Ta có  \( IN=1 \). Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức  \( -{{z}_{2}} \) là đường tròn (C) có phương trình:  \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=1 \).

\( d\left( I,AB \right)=2\sqrt{2}>1 \), suy ra AB không cắt đường tròn.

Gọi K là hình chiếu của I(2;1) lên AB. Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB.

Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn (C).

Ta có  \( \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=MN\ge KH=d\left( I,AB \right)-R=2\sqrt{2}-1 \).

Suy ra  \( \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}-1 \).