Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn |z1+2−i|+|z1−4−7i|=6√2 và |iz^2−1+2i|=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=|z1+z2|

Cho hai số phức \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) thỏa mãn  \( \left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2} \) và  \( \left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( T=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right| \).

A. \( \sqrt{2}-1 \)

B.  \( \sqrt{2}+1 \)           

C.  \( 2\sqrt{2}+1 \)                  

D.  \( 2\sqrt{2}-1 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z1 và A(-2;1), B(4;7) lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức  \( -2+i,\text{ }4+7i \).

Ta có  \( AB=6\sqrt{2} \). Phương trình đường thẳng AB là  \( d:x-y+3=0 \).

+  \( \left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=AB \).

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z1 là đoạn thẳng AB.

+  \( \left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|\left| i \right|=1\Leftrightarrow \left| -{{z}_{2}}-2-i \right|=1 \).

Gọi N là điểm biểu diễn số phức  \( -{{z}_{2}} \) và I(2;1) là điểm biểu diễn số phức  \( 2+I \).

Ta có  \( IN=1 \). Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức  \( -{{z}_{2}} \) là đường tròn (C) có phương trình:  \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=1 \).

\( d\left( I,AB \right)=2\sqrt{2}>1 \), suy ra AB không cắt đường tròn.

Gọi K là hình chiếu của I(2;1) lên AB. Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB.

Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn (C).

Ta có  \( \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=MN\ge KH=d\left( I,AB \right)-R=2\sqrt{2}-1 \).

Suy ra  \( \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}-1 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *