Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn các điều kiện |z1|=|z2|=2 và |z1+2z2|=4. Giá trị của |2z1−z2| bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Giả sử  \( {{z}_{1}}=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \);  \( {{z}_{2}}=c+di\text{ }(c,d\in \mathbb{R}) \).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{align} & \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\  & \left| {{z}_{2}} \right|=2 \\ & \left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=4 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\  & {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4 \\  & {{(a+2c)}^{2}}+{{(b+2d)}^{2}}=16 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\  & {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4 \\  & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4({{c}^{2}}+{{d}^{2}})+4(ac+bd)=16 \\ \end{align} \right.\)\(\begin{matrix}   {} & \begin{align}  & (1) \\  & (2) \\  & (3) \\ \end{align}  \\\end{matrix}\)

Thay (1), (2) vào (3) ta được:  \( ac+bd=-1\begin{matrix}   {} & (4)  \\\end{matrix} \).

Ta có:  \( \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{(2a-c)}^{2}}+{{(2b-d)}^{2}}}=\sqrt{4({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+({{c}^{2}}+{{d}^{2}})-4(ac+bd)}\begin{matrix}   {} & (5)  \\\end{matrix} \)

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có:  \( \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{6} \)