Cho hai số phức z và w=a+bi thỏa mãn ∣z+√5∣+∣z−√5∣=6; 5a−4b−20=0. Giá trị nhỏ nhất của |z−w| là

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đặt  \( {{F}_{1}}\left( -\sqrt{5};0 \right),\text{ }{{F}_{2}}\left( \sqrt{5};0 \right) \), vì  \( \sqrt{5}<3 \) nên tập hợp các điểm M biễu diễn số phức z thuộc elip có  \( \left\{ \begin{align}  & a=3 \\  & c=\sqrt{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=4 \) suy ra  \( (E):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 \).

Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức w thuộc đường thẳng  \( \Delta :5x-4y-20=0 \).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm  \( M\in (E) \) và  \( N\in \Delta \)  sao cho MN nhỏ nhất.

Đường thẳng d song song với  \( \Delta \)  có dạng  \( d:5x-4y+c=0\text{ }(c\ne -20) \).

Đường thẳng d tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi  \( {{c}^{2}}={{5}^{2}}.9+{{(-4)}^{2}}.4=289\Rightarrow \left[ \begin{align} & c=17 \\  & c=-17 \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( c=17\Rightarrow d(d,\Delta )=\frac{\left| -20-17 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{37}{\sqrt{41}} \).

+ Với  \( c=-17\Rightarrow d(d,\Delta )=\frac{\left| -20+17 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{41}} \).

Vậy  \( M{{N}_{\min }}=\frac{3}{\sqrt{41}} \).