Cho hai số phức z và \(w=a+bi\) thỏa mãn \( \left| z+\sqrt{5} \right|+\left| z-\sqrt{5} \right|=6 \); \( 5a-4b-20=0 \). Giá trị nhỏ nhất của \( \left| z-w \right| \) là
A. \( \frac{3}{\sqrt{41}} \)
B. \( \frac{5}{\sqrt{41}} \)
C. \( \frac{4}{\sqrt{41}} \)
D. \( \frac{3}{41} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt \( {{F}_{1}}\left( -\sqrt{5};0 \right),\text{ }{{F}_{2}}\left( \sqrt{5};0 \right) \), vì \( \sqrt{5}<3 \) nên tập hợp các điểm M biễu diễn số phức z thuộc elip có \( \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & c=\sqrt{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=4 \) suy ra \( (E):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 \).
Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức w thuộc đường thẳng \( \Delta :5x-4y-20=0 \).
Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm \( M\in (E) \) và \( N\in \Delta \) sao cho MN nhỏ nhất.
Đường thẳng d song song với \( \Delta \) có dạng \( d:5x-4y+c=0\text{ }(c\ne -20) \).
Đường thẳng d tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi \( {{c}^{2}}={{5}^{2}}.9+{{(-4)}^{2}}.4=289\Rightarrow \left[ \begin{align} & c=17 \\ & c=-17 \\ \end{align} \right. \).
+ Với \( c=17\Rightarrow d(d,\Delta )=\frac{\left| -20-17 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{37}{\sqrt{41}} \).
+ Với \( c=-17\Rightarrow d(d,\Delta )=\frac{\left| -20+17 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{41}} \).
Vậy \( M{{N}_{\min }}=\frac{3}{\sqrt{41}} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!