Cho hai số phức z và w=a+bi thỏa mãn ∣z+√5∣+∣z−√5∣=6; 5a−4b−20=0. Giá trị nhỏ nhất của |z−w| là

Cho hai số phức z và \(w=a+bi\) thỏa mãn \( \left| z+\sqrt{5} \right|+\left| z-\sqrt{5} \right|=6 \);  \( 5a-4b-20=0 \). Giá trị nhỏ nhất của  \( \left| z-w \right| \) là

A. \( \frac{3}{\sqrt{41}} \)    

B.  \( \frac{5}{\sqrt{41}} \)       

C.  \( \frac{4}{\sqrt{41}} \)                                        

D.  \( \frac{3}{41} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đặt  \( {{F}_{1}}\left( -\sqrt{5};0 \right),\text{ }{{F}_{2}}\left( \sqrt{5};0 \right) \), vì  \( \sqrt{5}<3 \) nên tập hợp các điểm M biễu diễn số phức z thuộc elip có  \( \left\{ \begin{align}  & a=3 \\  & c=\sqrt{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=4 \) suy ra  \( (E):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 \).

Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức w thuộc đường thẳng  \( \Delta :5x-4y-20=0 \).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm  \( M\in (E) \) và  \( N\in \Delta \)  sao cho MN nhỏ nhất.

Đường thẳng d song song với  \( \Delta \)  có dạng  \( d:5x-4y+c=0\text{ }(c\ne -20) \).

Đường thẳng d tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi  \( {{c}^{2}}={{5}^{2}}.9+{{(-4)}^{2}}.4=289\Rightarrow \left[ \begin{align} & c=17 \\  & c=-17 \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( c=17\Rightarrow d(d,\Delta )=\frac{\left| -20-17 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{37}{\sqrt{41}} \).

+ Với  \( c=-17\Rightarrow d(d,\Delta )=\frac{\left| -20+17 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{41}} \).

Vậy  \( M{{N}_{\min }}=\frac{3}{\sqrt{41}} \).

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *