Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \( {{\Delta }_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{2} \) và \( {{\Delta }_{2}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1} \). Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng \( {{\Delta }_{1}} \) và \( {{\Delta }_{2}} \).
A. \( \frac{16}{17}\pi \) (đvdt)
B. \( \frac{4}{\sqrt{17}}\pi \) (đvdt)
C. \( \frac{16}{\sqrt{17}}\pi \) (đvdt)
D. \( \frac{4}{17}\pi \) (đvdt)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Gọi A, B là hai điểm thuộc lần lượt \( {{\Delta }_{1}} \) và \( {{\Delta }_{2}} \) sao cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung giữa hai đường thẳng. Gọi M là trung điểm AB. Dễ có mặt cầu tâm M, bán kính \( R=\frac{AB}{2} \) tiếp xúc với hai đường thẳng \( {{\Delta }_{1}} \) và \( {{\Delta }_{2}} \) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Ta có tọa độ theo tham số của A, B lần lượt là: \( A(2t-1;t-1;2t-1);\text{ }B(2s+1;2s+1;s+1) \).
\( \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(2s-2t+2;2s-t+2;s-2t+2) \).
Có \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;1;2) \) và \( {{\vec{u}}_{2}}=(2;2;1) \) lần lượt là 2 vectơ chỉ phương của \( {{\Delta }_{1}} \) và \( {{\Delta }_{2}} \) nên \( \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AB}\bot {{{\vec{u}}}_{1}} \\ & \overrightarrow{AB}\bot {{{\vec{u}}}_{2}} \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (2s-2t+2).2+(2s-t+2).1+(s-2t+2).2=0 \\ & (2s-2t+2).2+(2s-t+2).2+(s-2t+2).1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 8s-9t=-10 \\ & 9s-8t=-10 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\frac{10}{17}\Rightarrow A\left( \frac{3}{17};-\frac{7}{17};\frac{3}{17} \right) \\ & s=-\frac{10}{17}\Rightarrow B\left( -\frac{3}{17};-\frac{3}{17};\frac{7}{17} \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -\frac{6}{17};\frac{4}{17};\frac{4}{17} \right) \).
\(R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{{{(-6)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}}{17}=\frac{\sqrt{17}}{17} \).
Diện tích mặt cầu cần tính là: \( S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{1}{{{\sqrt{17}}^{2}}}=\frac{4\pi }{17} \) (đvdt).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!