cho hai đường thẳng Δ1:x+1/2=y+1/1=z+1/2 và Δ2:x−1/2=y−1/2=z−1/1. Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng Δ1 và Δ2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \( {{\Delta }_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{2} \) và  \( {{\Delta }_{2}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1} \). Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \).

A. \( \frac{16}{17}\pi \) (đvdt)                                

B.  \( \frac{4}{\sqrt{17}}\pi  \) (đvdt)   

C.  \( \frac{16}{\sqrt{17}}\pi  \) (đvdt)       

D.  \( \frac{4}{17}\pi  \) (đvdt)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi A, B là hai điểm thuộc lần lượt  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) sao cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung giữa hai đường thẳng. Gọi M là trung điểm AB. Dễ có mặt cầu tâm M, bán kính  \( R=\frac{AB}{2} \) tiếp xúc với hai đường thẳng  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Ta có tọa độ theo tham số của A, B lần lượt là:  \( A(2t-1;t-1;2t-1);\text{ }B(2s+1;2s+1;s+1) \).

 \( \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(2s-2t+2;2s-t+2;s-2t+2) \).

Có  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;1;2) \) và  \( {{\vec{u}}_{2}}=(2;2;1) \) lần lượt là 2 vectơ chỉ phương của  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) nên  \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}\bot {{{\vec{u}}}_{1}} \\  & \overrightarrow{AB}\bot {{{\vec{u}}}_{2}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & (2s-2t+2).2+(2s-t+2).1+(s-2t+2).2=0 \\  & (2s-2t+2).2+(2s-t+2).2+(s-2t+2).1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 8s-9t=-10 \\  & 9s-8t=-10 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\frac{10}{17}\Rightarrow A\left( \frac{3}{17};-\frac{7}{17};\frac{3}{17} \right) \\  & s=-\frac{10}{17}\Rightarrow B\left( -\frac{3}{17};-\frac{3}{17};\frac{7}{17} \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -\frac{6}{17};\frac{4}{17};\frac{4}{17} \right) \).

 \(R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{{{(-6)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}}{17}=\frac{\sqrt{17}}{17} \).

Diện tích mặt cầu cần tính là:  \( S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{1}{{{\sqrt{17}}^{2}}}=\frac{4\pi }{17} \) (đvdt).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *