cho hai đường thẳng Δ1:x+1/2=y+1/1=z+1/2 và Δ2:x−1/2=y−1/2=z−1/1. Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng Δ1 và Δ2

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi A, B là hai điểm thuộc lần lượt  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) sao cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung giữa hai đường thẳng. Gọi M là trung điểm AB. Dễ có mặt cầu tâm M, bán kính  \( R=\frac{AB}{2} \) tiếp xúc với hai đường thẳng  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Ta có tọa độ theo tham số của A, B lần lượt là:  \( A(2t-1;t-1;2t-1);\text{ }B(2s+1;2s+1;s+1) \).

 \( \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(2s-2t+2;2s-t+2;s-2t+2) \).

Có  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;1;2) \) và  \( {{\vec{u}}_{2}}=(2;2;1) \) lần lượt là 2 vectơ chỉ phương của  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) nên  \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}\bot {{{\vec{u}}}_{1}} \\  & \overrightarrow{AB}\bot {{{\vec{u}}}_{2}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & (2s-2t+2).2+(2s-t+2).1+(s-2t+2).2=0 \\  & (2s-2t+2).2+(2s-t+2).2+(s-2t+2).1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 8s-9t=-10 \\  & 9s-8t=-10 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\frac{10}{17}\Rightarrow A\left( \frac{3}{17};-\frac{7}{17};\frac{3}{17} \right) \\  & s=-\frac{10}{17}\Rightarrow B\left( -\frac{3}{17};-\frac{3}{17};\frac{7}{17} \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -\frac{6}{17};\frac{4}{17};\frac{4}{17} \right) \).

 \(R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{{{(-6)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}}{17}=\frac{\sqrt{17}}{17} \).

Diện tích mặt cầu cần tính là:  \( S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{1}{{{\sqrt{17}}^{2}}}=\frac{4\pi }{17} \) (đvdt).