cho hai điểm A(3;-2;6), B(0;1;0) và mặt cầu (S):(x−1)^2+(y−2)^2+(z−3)^2=25. Mặt phẳng (P):ax+by+cz−2=0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

(THPTQG – 105 – 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;6), B(0;1;0) và mặt cầu  \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25 \). Mặt phẳng  \( (P):ax+by+cz-2=0 \) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính  \( T=a+b+c  \).

A. T = 3

B. T = 4                           

C. T = 5                           

D. T = 2

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính  \( R=5 \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & A\in (P) \\  & B\in (P) \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3a-2b+6c-2=0 \\  & b-2=0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=2-2c \\  & b=2 \\ \end{align} \right. \).

Bán kính của đường tròn giao tuyến là:  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{25-{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}} \).

Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi  \( d\left( I,(P) \right) \) lớn nhất.

Ta có: \(d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| a+2b+3c-2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2-2c+4+3c-2 \right|}{\sqrt{{{(2-2c)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}\).

Xét  \( f(c)=\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}\Rightarrow {f}'(c)=\frac{-48{{c}^{2}}-144c+192}{{{(5{{c}^{2}}-8c+8)}^{2}}\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}} \).

 \( {f}'(c)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=1 \\  & c=-4 \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Vậy  \( d\left( I,(P) \right) \) lớn nhất bằng  \( \sqrt{5} \) khi và chỉ khi  \( c=1\Rightarrow a=0,b=2\Rightarrow a+b+c=3 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *