cho hai điểm A(1;2;4), B(0;0;1) và mặt cầu (S):(x+1)2+(y−1)2+z2=4. Mặt phẳng (P):ax+by+cz−4=0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: (S) có tâm I(-1;1;0) và bán kính  \( R=2 \).

Do  \( A,B\in (P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+2b+4c-4=0 \\  & c-4=0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-2b-12 \\  & c=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow (P):-2(b+6)x+by+4z-4=0 \).

Gọi r là bán kính của đường tròn là giao tuyến của (P) và (S)  \( \Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)} \), để r đạt giá trị nhỏ nhất

 \( \Leftrightarrow d\left( I,(P) \right) \) đạt giá trị lớn nhất.

Mà  \( d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 3b+8 \right|}{\sqrt{5{{b}^{2}}+48b+160}} \).

Xét hàm số  \( f(x)=\frac{3x+8}{\sqrt{5{{x}^{2}}+48x+160}} \);

 \( {f}'(x)=\frac{32x+288}{{{\left( \sqrt{5{{x}^{2}}+48x+160} \right)}^{3}}};{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=-9 \).

Bảng biến thiên:

Suy ra bảng biến thiên của hàm số  \( y=\left| f(x) \right| \) là:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  \( x=-9\Rightarrow b=-9\Rightarrow a=6\Rightarrow T=1 \).