Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;4), B(0;0;1) và mặt cầu \( (S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \). Mặt phẳng \( (P):ax+by+cz-4=0 \) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \( T=a+b+c \)?
A. \( T=\frac{1}{5} \)
B. \( T=\frac{3}{4} \)
C. \( T=1 \)
D. \( T=-2 \)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: (S) có tâm I(-1;1;0) và bán kính \( R=2 \).
Do \( A,B\in (P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a+2b+4c-4=0 \\ & c-4=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=-2b-12 \\ & c=4 \\ \end{align} \right. \)
\( \Rightarrow (P):-2(b+6)x+by+4z-4=0 \).
Gọi r là bán kính của đường tròn là giao tuyến của (P) và (S) \( \Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)} \), để r đạt giá trị nhỏ nhất
\( \Leftrightarrow d\left( I,(P) \right) \) đạt giá trị lớn nhất.
Mà \( d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 3b+8 \right|}{\sqrt{5{{b}^{2}}+48b+160}} \).
Xét hàm số \( f(x)=\frac{3x+8}{\sqrt{5{{x}^{2}}+48x+160}} \);
\( {f}'(x)=\frac{32x+288}{{{\left( \sqrt{5{{x}^{2}}+48x+160} \right)}^{3}}};{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=-9 \).
Bảng biến thiên:
Suy ra bảng biến thiên của hàm số \( y=\left| f(x) \right| \) là:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \( x=-9\Rightarrow b=-9\Rightarrow a=6\Rightarrow T=1 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!