cho hai điểm A(1;2;4), B(0;0;1) và mặt cầu (S):(x+1)2+(y−1)2+z2=4. Mặt phẳng (P):ax+by+cz−4=0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;4), B(0;0;1) và mặt cầu  \( (S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \). Mặt phẳng  \( (P):ax+by+cz-4=0 \) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính  \( T=a+b+c  \)?

A. \( T=\frac{1}{5} \)

B.  \( T=\frac{3}{4} \)     

C.  \( T=1 \)  

D.  \( T=-2 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: (S) có tâm I(-1;1;0) và bán kính  \( R=2 \).

Do  \( A,B\in (P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+2b+4c-4=0 \\  & c-4=0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-2b-12 \\  & c=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow (P):-2(b+6)x+by+4z-4=0 \).

Gọi r là bán kính của đường tròn là giao tuyến của (P) và (S)  \( \Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)} \), để r đạt giá trị nhỏ nhất

 \( \Leftrightarrow d\left( I,(P) \right) \) đạt giá trị lớn nhất.

Mà  \( d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 3b+8 \right|}{\sqrt{5{{b}^{2}}+48b+160}} \).

Xét hàm số  \( f(x)=\frac{3x+8}{\sqrt{5{{x}^{2}}+48x+160}} \);

 \( {f}'(x)=\frac{32x+288}{{{\left( \sqrt{5{{x}^{2}}+48x+160} \right)}^{3}}};{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=-9 \).

Bảng biến thiên:

Suy ra bảng biến thiên của hàm số  \( y=\left| f(x) \right| \) là:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  \( x=-9\Rightarrow b=-9\Rightarrow a=6\Rightarrow T=1 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *