Cho F(x)=(x−1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f′(x)e^2x

(THPTQG – 2017 – 110) Cho \( F(x)=(x-1){{e}^{x}} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x){{e}^{2x}} \). Tìm nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x){{e}^{2x}} \).

A. \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=(4-2x){{e}^{x}}+C \)                                 

B.  \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=(x-2){{e}^{x}}+C  \)

C. \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=\frac{2-x}{2}{{e}^{x}}+C \)                     

D.  \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=(2-x){{e}^{x}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Theo đề bài ta có:  \( \int{f(x).{{e}^{2x}}dx}=(x-1){{e}^{x}}+C  \)

 \( \Rightarrow f(x).{{e}^{2x}}={{\left[ (x-1){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}={{e}^{x}}+(x-1){{e}^{x}} \)

 \( \Rightarrow f(x)={{e}^{-x}}+(x-1).{{e}^{-x}}=x.{{e}^{-x}}\Rightarrow {f}'(x)=(1-x){{e}^{-x}} \)

Suy ra:  \( K=\int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(1-x){{e}^{x}}dx}=\int{(1-x)d({{e}^{x}})}={{e}^{x}}(1-x)+\int{{{e}^{x}}dx}=(2-x){{e}^{x}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *