Cho F(x)=1/2x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/x. Tìm nguyên hàm của hàm số f′(x)lnx

(THPTQG – 2017 – 104) Cho \( F(x)=\frac{1}{2{{x}^{2}}} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( \frac{f(x)}{x} \). Tìm nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x)\ln x  \).

A. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+C\)

B. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C\)

C. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C\)

D. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+C\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \(\int{\frac{f(x)}{x}dx}=F(x)\Rightarrow {F}'(x)=\frac{f(x)}{x}=-\frac{1}{{{x}^{3}}}\)\(\Rightarrow f(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{2}{{{x}^{3}}}\)

Suy ra:  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\int{\frac{2}{{{x}^{3}}}\ln xdx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln x \\  & dv=\frac{2}{{{x}^{3}}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{dx}{x} \\  & v=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\int{\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}dx}=-\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\int{\frac{1}{{{x}^{3}}}dx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *