Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên [1;3] thỏa mãn điều kiện 1∫3[f(x)+3g(x)]dx=10 đồng thời 1∫3[2f(x)−g(x)]dx=6. Tính 1∫3f(4−x)dx+21∫2g(2x−1)dx

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \int\limits_{1}^{3}{\left[ f(x)+3g(x) \right]dx}=10 \) \( \Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}+3\int\limits_{1}^{3}{g(x)dx}=10 \)

 \( \int\limits_{1}^{3}{\left[ 2f(x)-g(x) \right]dx}=6\Leftrightarrow 2\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}-\int\limits_{1}^{3}{g(x)dx}=6 \)

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & u=\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx} \\  & v=\int\limits_{1}^{3}{g(x)dx} \\ \end{align} \right.\)

Ta được hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & u+3v=10 \\  & 2u-v=6 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & u=4 \\ & v=2 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}=4 \\  & \int\limits_{1}^{3}{g(x)dx}=2 \\ \end{align} \right. \)

+ Tính  \( \int\limits_{1}^{3}{f(4-x)dx} \)

Đặt  \( t=4-x\Rightarrow dt=-dx  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=1\to t=3 \\  & x=3\to t=1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \int\limits_{1}^{3}{f(4-x)dx}=\int\limits_{3}^{1}{f(t)(-dt)}=\int\limits_{1}^{3}{f(t)dt}=\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}=4 \)

+ Tính  \( \int\limits_{1}^{2}{g(2x-1)dx} \)

Đặt  \( z=2x-1\Rightarrow dz=2dx  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\to z=1 \\ & x=2\to z=3 \\ \end{align} \right. \)

 \( \int\limits_{1}^{2}{g(2x-1)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{g(z)dz}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{g(x)dx}=1 \)

Vậy  \( \int\limits_{1}^{3}{f(4-x)dx}+2\int\limits_{1}^{2}{g(2x-1)dx}=6 \)