Cho F(x)=−1/3x^3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/x. Tìm nguyên hàm của hàm số f′(x)lnx

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {F}'(x)=\frac{f(x)}{x}\Rightarrow f(x)=x.{F}'(x)=x.\left( -\frac{1}{3}{{x}^{-3}} \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}} \)

 \( \Rightarrow {f}'(x)=-3{{x}^{-4}}\Rightarrow {f}'(x)\ln x=-3{{x}^{-4}}\ln x  \)

Vậy  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\int{-3{{x}^{-4}}\ln xdx}=-3\int{{{x}^{-4}}\ln xdx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u=\ln x \\  & dv={{x}^{-4}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{1}{x}dx \\  & v=\frac{{{x}^{-3}}}{-3} \\ \end{align} \right. \)

Nên \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{-3{{x}^{3}}}+\int{\frac{{{x}^{-4}}}{3}dx} \right)=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}-\int{{{x}^{-4}}dx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C\)