Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A thuộc đường tròn, BC là một đường kính ( \( A\ne B,A\ne C \)). Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, AH và P là giao điểm của OE và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R)

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh rằng: AB2 = BH.BC.

Xét  \( \Delta ABC  \) vuông tại A  \( \Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.BC  \)

b) Chứng minh: PB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Có E là trung điểm của AB  \( \Rightarrow AB\bot OE  \)  \( \Rightarrow  \) OE là đường trung trực của AB.

 \( \Rightarrow PA=PB  \)  \( \Rightarrow \Delta OPA=\Delta OPB  \) (c – c – c)

 \( \Rightarrow \widehat{PAO}=\widehat{PBO}={{90}^{O}} \)  \( \Rightarrow PB\bot AO  \)

 \( \Rightarrow  \)PB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Chứng minh ba điểm P, M, C thẳng hàng.

Giả sử PC cắt AH tại N.

Ta chứng minh được  \( \frac{PE}{PO}=\frac{BH}{BC} \) mà  \( \frac{BH}{BC}=\frac{CN}{CP} \)

 \( \Rightarrow \frac{PE}{PO}=\frac{CN}{CP} \)  \( \Rightarrow \Delta PNE\backsim \Delta PCO  \) (c – g – c)

 \( \Rightarrow \widehat{PNE}=\widehat{PCO} \) mà hai góc ở vị trí so le trong  \( \Rightarrow NE//OC\Rightarrow NE//BH  \)

Lại có E là trung điểm của AB  \( \Rightarrow  \) N là trung điểm AH  \( \Rightarrow N\equiv M  \)

Vậy P, M, C thẳng hàng.

d) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PA với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Khi A thay đổi trên đường tròn (O), tìm giá trị nhỏ nhất của tổng OP + OQ.

Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:

 \( OP+OQ\ge 2\sqrt{OP.OQ} \)

Mà  \( OP.OQ=OA.PQ=PQ. \)R

 \( \Rightarrow OP.OQ  \) đạt giá trị nhỏ nhất khi PQ nhỏ nhất  \( \Leftrightarrow  \)PQ là khoảng cách giữa hai đường BP và CQ.

 \( \Rightarrow PQ//BC  \)  \( \Rightarrow  \)A là điểm chính giữa đường tròn.