Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. A là điểm bất kỳ trên cung lớn BC. Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh các tứ giác HDBF, BCEF nội tiếp.

Chứng minh HDBF nội tiếp

Chứng minh tương tự BCEF nội tiếp

b) Chứng minh DA là phân giác của góc EDF.

Tứ giác HDBF nội tiếp  \( \Rightarrow \widehat{HDF}=\widehat{HBF} \) (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Chứng minh tứ giác HDCE nội tiếp  \( \Rightarrow \widehat{HDE}=\widehat{HCE} \) (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Lại có  \( \widehat{HBF}=\widehat{HCE} \) (vì cùng cộng với  \( \widehat{BAC} \) bằng 90O)

 \( \Rightarrow \widehat{HDF}=\widehat{HDE} \)

 \( \Rightarrow  \) DA là phân giác của  \( \widehat{EDF} \) (đpcm)

c) Gọi K là điểm đối xứng của A qua tâm O. Chứng minh HK đi qua trung điểm của đoạn BC.

Chứng minh: BH // CK (cùng vuông góc với AC)

CH // BK (cùng vuông góc với AB)

Suy ra BHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

 \( \Rightarrow  \) HK cắt BC tại trung điểm của đoạn BC (tính chất hình bình hành)

d) Giả sử \( \widehat{BAC}={{60}^{0}} \). Chứng minh tam giác AHO là tam giác cân.

Gọi trung điểm BC là M.

Suy ra OM vuông góc với BC và  \( OM=\frac{1}{2}AH  \)

Ta có: \( \widehat{MOC}=\widehat{BAC}={{60}^{O}}\) (đều bằng một nửa góc  \( \widehat{BOC} \))

Suy ra  \( OM=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}AO  \)

Do đó: AH = AO. Vậy tam giác AHO cân tại A.