Cho đường tròn (O; R) đường kính Gọi E và D là hai điểm thuộc cung AB của đường tròn (O) sao cho E thuộc cung AD; AE cắt BD tại C; AD cắt BE tại H; CH cắt AB tại F.

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh:  \( \widehat{CEH}+\widehat{CDH}={{180}^{O}} \)

Xét tứ giác CEHD:

 \( \widehat{CEH}+\widehat{CDH}={{180}^{O}} \) (cmt)

Mà  \( \widehat{CEH} \) và  \( \widehat{CDH} \) là hai góc đối nhau

Suy ra tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: AE.AC = AF.AB.

Chứng minh AD  \( \bot  \) BC; BE  \( \bot  \) AC.

Chứng minh H là trực tâm  \( \Delta ABC  \) suy ra  \( CF\bot AB  \).

Xét  \( \Delta AEB  \) và  \( \Delta AFC  \), ta có:

 \( \widehat{CAB} \) chung

 \( \widehat{AEB}=\widehat{AFC}={{90}^{O}} \)

 \( \Delta AEB\backsim \Delta AFC  \) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC} \) \( \Rightarrow AE.AC=AF.AB \)  (đpcm)

c) Trên tia đối của tia FD lấy điểm Q sao cho FQ = FE. Tính \( \widehat{AQB} \).

Chứng minh:  \( \widehat{EFH}=\widehat{DFH} \)

Chứng minh:  \( \widehat{AFQ}=\widehat{AFE} \) suy ra FA là phân giác của  \( \widehat{EFQ} \)

Chứng minh  \( \Delta EFQ  \) cân tại F; FA là trung trực của EQ suy ra OE = OQ

Q thuộc (O) suy ra  \( \widehat{AQB}={{90}^{O}} \)

d) M, N lần lượt là hình chiếu của A và B trên đường thẳng DE. Chứng minh rằng: MN = FE + FD

BN cắt (O) tại K. Chứng minh cung  \( \overset\frown{AQ}=\overset\frown{AE}=\overset\frown{DK} \)

Chứng minh tứ giác ADKQ là hình thang cân  \( \Rightarrow AK=DQ  \)

Chứng minh tứ giác AMNK là hình chữ nhật

Suy ra MN = FE + FD