Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa O và B). Trên tia đối của tia NM lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt (O) tại K khác A. Hai dây MN và BK cắt nhau ở E

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa O và B). Trên tia đối của tia NM lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt (O) tại K khác A. Hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp.

b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh \( \Delta NFK \) cân và EM.NC = EN.CM.

c) Giả sử KE = KC. Chứng minh OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2.

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp.

Xét tứ giác AHEK có:

 \( \widehat{AHE}={{90}^{O}} \) (AB  \( \bot  \) MN);

 \( \widehat{AKE}={{90}^{O}} \) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra  \( \widehat{AHE}+\widehat{AKE}={{180}^{O}}   \)\(\Rightarrow  \) Tứ giác AHKE nội tiếp (đpcm)

b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh \( \Delta NFK \) cân và EM.NC = EN.CM.

Vì NF và KB cùng vuông góc với AC nên NF // KB, AB  \( \bot  \) MN  \( \Rightarrow \overset\frown{MB}=\overset\frown{BN} \).

Có  \( \widehat{KFN}=\widehat{MKB} \) (đồng vị và KE // FN),  \( \widehat{KNF}=\widehat{NKB} \) (so le và KE // FN)

 \( \widehat{BKN}=\widehat{MKB} \) (vì  \( \overset\frown{MB}=\overset\frown{BN} \))

 \( \Rightarrow \widehat{KFN}=\widehat{KNF} \)

Do đó  \( \Delta NFK  \) cân tại K.

Xét  \( \Delta MKN  \) có KE là phân giác của  \( \widehat{MKN} \) nên  \( \frac{EM}{EN}=\frac{KM}{KN} \)   (1)

Do KE  \( \bot  \) KC nên KC là phân giác ngoài của  \( \widehat{MKN} \)  \( \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{KM}{KN} \)  (2)

Từ (1) và (2)  \( \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{EM}{EN}\Leftrightarrow EM.CN=EN.CM  \)  (đpcm)

c) Giả sử KE = KC. Chứng minh OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2.

+ KE = KC  \( \Rightarrow \Delta KEC  \) vuông cân tại K  \( \Rightarrow \widehat{KEC}={{45}^{O}} \)  \( \Rightarrow \widehat{HEB}={{45}^{O}} \) (đối đỉnh)

 \( \Rightarrow \widehat{HBE}={{45}^{O}} \) (vì  \( \Delta HEB  \) vuông tại H)

+  \( \Delta OKB  \) cân tại O có  \( \widehat{OBK}={{45}^{O}} \) nên  \( \Delta OKB  \) vuông tại O  \( \Rightarrow  \) OK // MN (cùng vuông góc với AB) (đpcm)

+ Kẻ đường kính KK’ \(\Rightarrow \Delta KK’M\) vuông tại M \(\Rightarrow K{{M}^{2}}+K'{{M}^{2}}=K{{{K}’}^{2}}=4{{R}^{2}}\)

Lại có KK’ // MN (cùng vuông góc với AB)  \( \Rightarrow  \) cung  \( \overset\frown{K’M}=\overset\frown{KN} \) (tính chất 2 dây song song chắn 2 cung bằng nhau)  \( \Rightarrow K’N=KN  \)

Vậy  \( K{{M}^{2}}+K{{N}^{2}}=4{{R}^{2}} \)  (đpcm)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới nhất!

Không tìm thấy bài viết nào.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *