Cho đường tròn (O), M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm; MPQ là một cát tuyến không đi qua tâm của đường tròn (O), P nằm giữa M và Q. Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AQ tương ứng tại R, S

Hướng dẫn giải:

a) Các điểm M, A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ bán kính của đường tròn đó.

Ta có:  \( \widehat{MAO}={{90}^{O}} \) (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm).

Tương tự  \( \widehat{MBO}={{90}^{O}} \)

Suy ra các điểm A, N, B cùng nhìn đoạn MO dưới một góc vuông.

Vậy 5 điểm M, A, N, O, B cùng thuộc đường tròn bán kính  \( \frac{MO}{2} \)

b) PR = RS.

Tứ giác MANB nội tiếp nên  \( \widehat{AMN}=\widehat{ABN} \)   (1)

 \( \left\{ \begin{align}& OA\bot PS \\  & OA\bot MA \\ \end{align} \right.\Rightarrow PS//MA  \)  \( \Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{RPN} \)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \( \widehat{ABN}=\widehat{RPN} \) hay  \( \widehat{RBN}=\widehat{RPN} \)  \( \Rightarrow  \) tứ giác PRNB nội tiếp  \( \Rightarrow \widehat{BPN}=\widehat{BRN} \)  (3)

Mặt khác có:  \( \widehat{BPN}=\widehat{BAQ} \)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra:  \( \widehat{BRN}=\widehat{BAQ}\Rightarrow RN//SQ  \)  (5)

Từ (5) và N là trung điểm PQ nên trong  \( \Delta SPQ  \) có RN là đường trung bình, suy ra:  \( PR=RS  \) (đpcm)