Cho đường tròn (O), M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm; MPQ là một cát tuyến không đi qua tâm của đường tròn (O), P nằm giữa M và Q. Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AQ tương ứng tại R, S. Gọi Trung điểm đoạn PQ là N. Chứng minh rằng:
a) Các điểm M, A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ bán kính của đường tròn đó.
b) PR = RS.
Hướng dẫn giải:
a) Các điểm M, A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ bán kính của đường tròn đó.
Ta có: \( \widehat{MAO}={{90}^{O}} \) (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm).
Tương tự \( \widehat{MBO}={{90}^{O}} \)
Suy ra các điểm A, N, B cùng nhìn đoạn MO dưới một góc vuông.
Vậy 5 điểm M, A, N, O, B cùng thuộc đường tròn bán kính \( \frac{MO}{2} \)
b) PR = RS.
Tứ giác MANB nội tiếp nên \( \widehat{AMN}=\widehat{ABN} \) (1)
\( \left\{ \begin{align}& OA\bot PS \\ & OA\bot MA \\ \end{align} \right.\Rightarrow PS//MA \) \( \Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{RPN} \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \( \widehat{ABN}=\widehat{RPN} \) hay \( \widehat{RBN}=\widehat{RPN} \) \( \Rightarrow \) tứ giác PRNB nội tiếp \( \Rightarrow \widehat{BPN}=\widehat{BRN} \) (3)
Mặt khác có: \( \widehat{BPN}=\widehat{BAQ} \) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \( \widehat{BRN}=\widehat{BAQ}\Rightarrow RN//SQ \) (5)
Từ (5) và N là trung điểm PQ nên trong \( \Delta SPQ \) có RN là đường trung bình, suy ra: \( PR=RS \) (đpcm)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!