cho điểm M(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng (α):2x−2y+z+15=0 và mặt cầu (S):(x−2)^2+(y−3)^2+(z−5)^2=100. Đường thẳng Δ qua M, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng \( (\alpha ):2x-2y+z+15=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=100 \). Đường thẳng  \( \Delta  \) qua M, nằm trên mặt phẳng  \( (\alpha ) \) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng  \( \Delta  \).

A. \( \frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{3} \)

B. \( \frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6} \)

C. \( \frac{x+3}{16}=\frac{y-3}{11}=\frac{z+3}{-10} \)

D. \( \frac{x+3}{5}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có: Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;5), bán kính  \( R=10 \).

 \( d\left( I,(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2.2-2.3+5+15 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6<R\Rightarrow (\alpha )\cap (S)=C(H,r) \), với H là hình chiếu của I lên  \( (\alpha ) \).

Gọi  \( {{\Delta }_{1}} \) là đường thẳng qua I và vuông góc với  \( (\alpha ) \) \( \Rightarrow {{\Delta }_{1}} \) có vectơ chỉ phương là  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;-2;1) \).

 \( \Rightarrow  \)Phương trình tham số của  \( {{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align}  & x=2+2t \\  & y=3-2t \\  & z=5+t \\ \end{align} \right. \).

Tọa độ H là nghiệm của hệ:  \( \left\{ \begin{align}  & x=2+2t \\  & y=3-2t \\  & z=5+t \\  & 2x-2y+z+15=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=-2 \\  & y=7 \\  & z=3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow H(-2;7;3) \).

Ta có AB có độ dài lớn nhất  \( \Leftrightarrow AB  \) là đường kính của (C)  \( \Leftrightarrow \Delta \equiv MH  \).

Đường thẳng MH đi qua M(-3;3;-3) và có vectơ chỉ phương  \( \overrightarrow{MH}=(1;4;6) \).

Suy ra phương trình  \( \Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *