cho điểm M(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng (α):2x−2y+z+15=0 và mặt cầu (S):(x−2)^2+(y−3)^2+(z−5)^2=100. Đường thẳng Δ qua M, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng \( (\alpha ):2x-2y+z+15=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=100 \). Đường thẳng  \( \Delta  \) qua M, nằm trên mặt phẳng  \( (\alpha ) \) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng  \( \Delta  \).

A. \( \frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{3} \)

B. \( \frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6} \)

C. \( \frac{x+3}{16}=\frac{y-3}{11}=\frac{z+3}{-10} \)

D. \( \frac{x+3}{5}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có: Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;5), bán kính  \( R=10 \).

 \( d\left( I,(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2.2-2.3+5+15 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6<R\Rightarrow (\alpha )\cap (S)=C(H,r) \), với H là hình chiếu của I lên  \( (\alpha ) \).

Gọi  \( {{\Delta }_{1}} \) là đường thẳng qua I và vuông góc với  \( (\alpha ) \) \( \Rightarrow {{\Delta }_{1}} \) có vectơ chỉ phương là  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;-2;1) \).

 \( \Rightarrow  \)Phương trình tham số của  \( {{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align}  & x=2+2t \\  & y=3-2t \\  & z=5+t \\ \end{align} \right. \).

Tọa độ H là nghiệm của hệ:  \( \left\{ \begin{align}  & x=2+2t \\  & y=3-2t \\  & z=5+t \\  & 2x-2y+z+15=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=-2 \\  & y=7 \\  & z=3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow H(-2;7;3) \).

Ta có AB có độ dài lớn nhất  \( \Leftrightarrow AB  \) là đường kính của (C)  \( \Leftrightarrow \Delta \equiv MH  \).

Đường thẳng MH đi qua M(-3;3;-3) và có vectơ chỉ phương  \( \overrightarrow{MH}=(1;4;6) \).

Suy ra phương trình  \( \Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *