cho điểm E(1;1;1), mặt phẳng (P):x−3y+5z−3=0 và mặt cầu (S):x^2+y^2+z^2=4. Gọi Δ là đường thẳng qua E, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB=2. Phương trình đường thẳng Δ là

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm I(0;0;0), bán kính  \( R=2 \) .

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;-3;5) \).

Gọi H là hình chiếu của I lên  \( \Delta \Rightarrow AH=BH=\frac{AB}{2}=1 \).

Xét  \( \Delta IAH  \) vuộng tại H  \( \Rightarrow IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3} \).

Mặt khác, ta có:  \( \overrightarrow{IE}=(1;1;1)\Rightarrow IE=\sqrt{3}=IH\Rightarrow H\equiv E\Rightarrow IE\bot \Delta  \).

Đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua E(1;1;1), vuông góc với IE và chứa trong (P) nên vectơ chỉ phương của  \( \Delta  \):  \( {{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},\overrightarrow{IE} \right]=(-8;4;4)=-4(2;-1;-1) \) \( \Rightarrow \vec{u}=(2;-1;-1) \) cũng là vectơ chỉ phương của  \( \Delta  \).

Phương trình đường thẳng  \( \Delta  \) là:  \( \left\{ \begin{align} & x=1+2t \\  & y=1-t \\ & z=1-t \\ \end{align} \right. \).