Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;-2), mặt phẳng \( (P):x+y+z+1=0 \) và mặt cầu \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-7=0 \). Gọi \( \Delta \) là đường thẳng đi qua A và \( \Delta \) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B, C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu (S). Phương trình của đường thẳng \( \Delta \) là:
A. \( \left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1 \\ & z=-2-t \\ \end{align} \right. \)
B. \( \left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1+t \\ & z=-2+t \\ \end{align} \right. \)
C. \( \left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-t \\ & z=-2 \\ \end{align} \right. \)
D. \( \left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1+t \\ & z=-2 \\ \end{align} \right. \)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0) và bán kính \( R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+7}=2\sqrt{3} \).
\( \overrightarrow{AI}=(1;1;2)\Rightarrow AI=\sqrt{6}<R\Rightarrow A \) nằm trong mặt cầu (S) và A nằm trên dây cung BC (1).
\( {{S}_{\Delta IBC}}=\frac{1}{2}IB.IC.\sin \widehat{BIC}=\frac{{{R}^{2}}}{2}\sin \widehat{BIC}\le \frac{{{R}^{2}}}{2} \) nên diện tích \( \Delta IBC \) đạt giá trị lớn nhất là \( \frac{{{R}^{2}}}{2}\Leftrightarrow \sin \widehat{BIC}=1\Rightarrow \widehat{BIC}={{90}^{O}}\Rightarrow \Delta IBC \) vuông cân tại I \( \Rightarrow BC=IC\sqrt{2}=R\sqrt{2}=2\sqrt{6} \).
Gọi J là trung điểm của BC. Ta có: \( IJ\bot BC \) và \( IJ=\frac{BC}{2}=\sqrt{6} \) (2).
\( \Delta AIJ \) vuông tại J \( \Rightarrow AI\ge IJ \), kết hợp thêm với (1) và (2) ta có \( IJ=AI\Rightarrow A\equiv J\Rightarrow A \) là trung điểm của BC và \( IA\bot BC \).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;1;1) \) có giá vuông góc với \( \Delta \).
Vậy \( \Delta \) nhận \( \vec{u}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},\overrightarrow{AI} \right]=(1;-1;0) \) làm vectơ chỉ phương và đi qua A(0;1;-2).
\( \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-t \\ & z=-2 \\ \end{align} \right. \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!