cho điểm A(0;1;-2), mặt phẳng (P):x+y+z+1=0 và mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y−7=0. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và Δ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B, C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu (S)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;-2), mặt phẳng \( (P):x+y+z+1=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-7=0 \). Gọi  \( \Delta  \) là đường thẳng đi qua A và  \( \Delta  \) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B, C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu (S). Phương trình của đường thẳng  \( \Delta  \) là:

A. \( \left\{ \begin{align} & x=t \\  & y=1 \\  & z=-2-t \\ \end{align} \right. \) 

B.  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1+t \\  & z=-2+t \\ \end{align} \right. \)   

C.  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1-t \\  & z=-2 \\ \end{align} \right. \)          

D.  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1+t \\  & z=-2 \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0) và bán kính  \( R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+7}=2\sqrt{3} \).

 \( \overrightarrow{AI}=(1;1;2)\Rightarrow AI=\sqrt{6}<R\Rightarrow A  \) nằm trong mặt cầu (S) và A nằm trên dây cung BC (1).

 \( {{S}_{\Delta IBC}}=\frac{1}{2}IB.IC.\sin \widehat{BIC}=\frac{{{R}^{2}}}{2}\sin \widehat{BIC}\le \frac{{{R}^{2}}}{2} \) nên diện tích  \( \Delta IBC  \) đạt giá trị lớn nhất là  \( \frac{{{R}^{2}}}{2}\Leftrightarrow \sin \widehat{BIC}=1\Rightarrow \widehat{BIC}={{90}^{O}}\Rightarrow \Delta IBC  \) vuông cân tại I  \( \Rightarrow BC=IC\sqrt{2}=R\sqrt{2}=2\sqrt{6} \).

Gọi J là trung điểm của BC. Ta có:  \( IJ\bot BC  \) và  \( IJ=\frac{BC}{2}=\sqrt{6} \)   (2).

 \( \Delta AIJ  \) vuông tại J  \( \Rightarrow AI\ge IJ  \), kết hợp thêm với (1) và (2) ta có  \( IJ=AI\Rightarrow A\equiv J\Rightarrow A  \) là trung điểm của BC và  \( IA\bot BC  \).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;1;1) \) có giá vuông góc với  \( \Delta  \).

Vậy  \( \Delta  \) nhận  \( \vec{u}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},\overrightarrow{AI} \right]=(1;-1;0) \) làm vectơ chỉ phương và đi qua A(0;1;-2).

 \( \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1-t \\  & z=-2 \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *