Cho đa giác ABCDE, thỏa mãn BACˆ=CADˆ=DAEˆ và ABCˆ=ACDˆ=ADEˆ. Đường thẳng BD cắt CE tại M. Chứng minh rằng AM đi qua trung điểm CD

Cho đa giác ABCDE, thỏa mãn \( \widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAE} \) và  \( \widehat{ABC}=\widehat{ACD}=\widehat{ADE} \). Đường thẳng BD cắt CE tại M. Chứng minh rằng AM đi qua trung điểm CD.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết  \( \widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAE} \) và  \( \widehat{ABC}=\widehat{ACD}=\widehat{ADE} \).

 \( \Rightarrow \Delta ABC,\text{ }\Delta ACD,\text{ }\Delta ADE \) đồng dạng (g.g)

 \( \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=\frac{AD}{AE} \)   (1)

Giả sử BD cắt AC tại P, CE cắt AD tại Q.

Từ  giả thiết  \( \widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{CAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE} \)

 \( \Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{CAE}\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta ACE \) (c.g.c).

AP là phân  giác của  \( \widehat{BAD} \), AQ là phân giác  \( \widehat{CAE} \)  \( \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AQ} \).

Kết hợp (1) \( \Rightarrow \frac{AP}{AQ}=\frac{AC}{AD}\Rightarrow \frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AD} \), theo định lý Thales đảo  \( \Rightarrow PQ\parallel CD \).

 \( \Rightarrow PQCD \) là hình thang  \( \Rightarrow  \) theo tính chất hình thang AM đi qua trung điểm CD

 \( \Rightarrow IC=ID \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *