Cho các số phức z thỏa mãn |z|=4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(3+4i)z+i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Giả sử  \( z=a+bi;\text{ }w=x+yi  \),  \( (a,b,x,y\in \mathbb{R}) \)

Theo đề:  \( w=(3+4i)z+i\Rightarrow x+yi=(3+4i)(a+bi)+i  \)

 \( \Leftrightarrow x+yi=(3a-4b)+(3b+4a+1)i \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=3a-4b \\  & y=3b+4a+1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=3a-4b \\  & y-1=3b+4a \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(3a-4b)}^{2}}+{{(4a+3b)}^{2}}=25{{a}^{2}}+25{{b}^{2}}=25({{a}^{2}}+{{b}^{2}}) \)

Mà  \( \left| z \right|=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=16 \).

Vậy  \( {{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=25.16=400 \)

Bán kính đường tròn là:  \( r=\sqrt{400}=20 \).