Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn √a+√b+√c=3. Chứng minh rằng: √(a^2+ab+b^2)+√(b^2+bc+c^2)+√(c^2+ca+a^2)≥3√3

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( \sqrt{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}\ge 3\sqrt{3} \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{2{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}+\sqrt{2{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}}}+\sqrt{2{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}}}\ge 3\sqrt{6} \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{(a+b)}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(b+c)}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(a+c)}^{2}}}\ge 3\sqrt{6} \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakcopki: \(x.a+y.b\le \sqrt{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}\).

Chứng minh: \(x.a+y.b\le \sqrt{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}\)

 \( \Leftrightarrow {{(x.a+y.b)}^{2}}\le {{x}^{2}}{{a}^{2}}+{{y}^{2}}{{b}^{2}}+{{x}^{2}}{{b}^{2}}+{{y}^{2}}{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{b}^{2}}+{{y}^{2}}{{a}^{2}}-2x.a.y.b\ge 0 \)

 \( \Leftrightarrow {{(x.b-y.a)}^{2}}\ge 0 \) (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra  \( \Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y} \).

Áp dụng cho bài toán:

\(a+b\le \sqrt{({{1}^{2}}+{{1}^{2}}).({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}=\sqrt{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{{{(a+b)}^{2}}}{2}\)   (1)

 \( b+c\le \sqrt{({{1}^{2}}+{{1}^{2}}).({{b}^{2}}+{{c}^{2}})}=\sqrt{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})}\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{{{(b+c)}^{2}}}{2} \)    (2)

\(a+c\le \sqrt{({{1}^{2}}+{{1}^{2}}).({{a}^{2}}+{{c}^{2}})}=\sqrt{2({{a}^{2}}+{{c}^{2}})}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{{{(a+c)}^{2}}}{2}\)    (3)

Do đó:  \( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{(a+b)}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(b+c)}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(a+c)}^{2}}} \)

 \( \ge \sqrt{\frac{3}{2}{{(a+b)}^{2}}}+\sqrt{\frac{3}{2}{{(b+c)}^{2}}}+\sqrt{\frac{3}{2}{{(a+c)}^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}(2a+2b+2c)=3\sqrt{6} \) (đpcm)

Dấu “=” xảy ra  \( \Leftrightarrow  \) dấu “=” ở (1), (2), (3) đồng thời xảy ra và thỏa mãn  \( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\Leftrightarrow a=b=c=1 \).