Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn √a+√b+√c=3. Chứng minh rằng: √(a^2+ab+b^2)+√(b^2+bc+c^2)+√(c^2+ca+a^2)≥3√3

Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn \( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3 \). Chứng minh rằng:  \( \sqrt{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}\ge 3\sqrt{3} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( \sqrt{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}\ge 3\sqrt{3} \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{2{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}+\sqrt{2{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}}}+\sqrt{2{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}}}\ge 3\sqrt{6} \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{(a+b)}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(b+c)}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(a+c)}^{2}}}\ge 3\sqrt{6} \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakcopki: \(x.a+y.b\le \sqrt{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}\).

Chứng minh: \(x.a+y.b\le \sqrt{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}\)

 \( \Leftrightarrow {{(x.a+y.b)}^{2}}\le {{x}^{2}}{{a}^{2}}+{{y}^{2}}{{b}^{2}}+{{x}^{2}}{{b}^{2}}+{{y}^{2}}{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{b}^{2}}+{{y}^{2}}{{a}^{2}}-2x.a.y.b\ge 0 \)

 \( \Leftrightarrow {{(x.b-y.a)}^{2}}\ge 0 \) (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra  \( \Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y} \).

Áp dụng cho bài toán:

\(a+b\le \sqrt{({{1}^{2}}+{{1}^{2}}).({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}=\sqrt{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{{{(a+b)}^{2}}}{2}\)   (1)

 \( b+c\le \sqrt{({{1}^{2}}+{{1}^{2}}).({{b}^{2}}+{{c}^{2}})}=\sqrt{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})}\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{{{(b+c)}^{2}}}{2} \)    (2)

\(a+c\le \sqrt{({{1}^{2}}+{{1}^{2}}).({{a}^{2}}+{{c}^{2}})}=\sqrt{2({{a}^{2}}+{{c}^{2}})}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{{{(a+c)}^{2}}}{2}\)    (3)

Do đó:  \( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{(a+b)}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(b+c)}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(a+c)}^{2}}} \)

 \( \ge \sqrt{\frac{3}{2}{{(a+b)}^{2}}}+\sqrt{\frac{3}{2}{{(b+c)}^{2}}}+\sqrt{\frac{3}{2}{{(a+c)}^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}(2a+2b+2c)=3\sqrt{6} \) (đpcm)

Dấu “=” xảy ra  \( \Leftrightarrow  \) dấu “=” ở (1), (2), (3) đồng thời xảy ra và thỏa mãn  \( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\Leftrightarrow a=b=c=1 \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *