Cho biết F(x)=1/3x^3+2x−1/x là một nguyên hàm của f(x)=(x^2+a)^2/x^2. Tìm nguyên hàm của g(x)=xcosax

Cho biết \( F(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2x-\frac{1}{x} \) là một nguyên hàm của  \( f(x)=\frac{{{({{x}^{2}}+a)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \). Tìm nguyên hàm của  \( g(x)=x\cos ax  \).

A. \( x\sin x-\cos x+C \)                                             

B.  \( \frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{4}\cos 2x+C  \)

C. \( x\sin x+\cos x+C \)                                          

D.  \( \frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {F}'(x)={{x}^{2}}+2+\frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \).

Do F(x) là một nguyên hàm của  \( f(x)=\frac{{{({{x}^{2}}+a)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \) nên a = 1.

 \( \int{g(x)dx}=\int{x\cos xdx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x \\  & dv=\cos xdx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\  & v=\sin x \\ \end{align} \right. \)

 \( \int{g(x)dx}=\int{x\cos xdx}=x\sin x-\int{\sin xdx}=x\sin x+\cos x+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *