Cho bất phương trình log7(x^2+2x+2)>log7(x^2+6x+5+m). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng (1;3)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( {{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right),\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( 7{{x}^{2}}+14x+14 \right)>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right),\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+6x+5+m>0,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\  &6{{x}^{2}}+8x+9>m,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>-\left( {{x}^{2}}+6x+5 \right),\forall x\in \left( 1;3 \right)\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(1) \\  & m<{{x}^{2}}+6x+5,\forall x\in \left( 1;3 \right)\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Xét  \( g(x)=-\left( {{x}^{2}}+6x+5 \right),x\in \left( 1;3 \right) \) có  \( g(x)=-{{\left( x+3 \right)}^{2}}+4<-{{(1+3)}^{2}}+4=-12,\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

Do đó,  \( (1)\Leftrightarrow m\ge -12 \)

Xét \(h(x)=6{{x}^{2}}+8x+9,x\in \left( 1;3 \right)\), có  \( h(x)>{{6.1}^{2}}+8.1+9=23,\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

Do đó,  \( (2)\Leftrightarrow m\le 23 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( m\in \left[ -12;23 \right] \) nên ta được tập các giá trị của  \( m\in \left\{ -12;-11;-10;…;23 \right\} \).

Vậy có tổng cộng 36 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.