Cho bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z+2−i|=2√2 và (z−1)^2 là số thuần ảo?

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi số phức  \( z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \)

Vì  \( {{(z-1)}^{2}}=\left[ {{(x-1)}^{2}}-{{y}^{2}} \right]+2(x-1)yi  \) là số thuần ảo nên theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{align} & {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=8 \\  & {{(x-1)}^{2}}={{y}^{2}} \\ \end{align} \right.\begin{matrix}   {} & \begin{matrix}  (1)  \\  (2)  \\\end{matrix}  \\\end{matrix}\)

Từ (2) suy ra:  \( y=\pm (x-1) \)

+ Với  \( y=x-1 \), thay vào (1), ta được:  \( {{(x+2)}^{2}}+{{(x-2)}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0 \)

Suy ra:  \( {{z}_{1}}=-i  \).

+ Với  \( y=-(x-1) \), thay vào (1), ta được:

 \( {{(x+2)}^{2}}+{{(-x)}^{2}}=8\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+4x-4=0\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{3} \)

Suy ra:  \( \left\{ \begin{align}  & {{z}_{2}}=-1+\sqrt{3}+(2-\sqrt{3})i \\  & {{z}_{3}}=-1-\sqrt{3}+(2+\sqrt{3})i \\ \end{align} \right. \)

Vậy có 3 số phức thỏa mãn.