Cho bao nhiêu số phức thỏa mãn |z|(z−6−i)+2i=(7−i)z?

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt  \( \left| z \right|=a\ge 0,\text{ }a\in \mathbb{R} \), khi đó ta có:

 \( \left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z  \) \( \Leftrightarrow a(z-6-i)+2i=(7-i)z\Leftrightarrow (a-7+i)z=6a+ai-2i  \)

 \( \Leftrightarrow (a-7+i)z=6a+(a-2)i\Leftrightarrow \left| (a-7+i) \right|\left| z \right|=\left| 6a+(a-2)i \right| \)

 \( \Leftrightarrow \left[ {{(a-7)}^{2}}+1 \right]{{a}^{2}}=36{{a}^{2}}+{{(a-2)}^{2}} \) \( \Leftrightarrow {{a}^{4}}-14{{a}^{3}}+13{{a}^{2}}+4a-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow (a-1)({{a}^{3}}-13{{a}^{2}}+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=1 \\  & {{a}^{3}}-13{{a}^{2}}+4=0 \\ \end{align} \right. \)

Xét hàm số  \( f(a)={{a}^{3}}-13{{a}^{2}}\text{ }(a\ge 0) \), có bảng biến thiên là:

Đường thẳng  \( y=-4 \) cắt đồ thị hàm số  \( f(a) \) tại hai điểm nên phương trình  \( {{a}^{3}}-12{{a}^{2}}+4=0 \) có hai nghiệm khác 1 (do  \( f(1)\ne 0 \) ). Mỗi giá trị của a cho ta một số phức z.

Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện.